الوسيط

الوسيط مع أمثلة محلولة الوسيط مع أمثلة محلولة

الوسيط (Median) مع أمثلة محلولة

الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركزية في الإحصاء، وهو مفهوم مهم جداً لفهم توزيع البيانات.

ما هو الوسيط؟

الوسيط هو العدد أو القيمة التي تأتي في المنتصف إذا رتبنا البيانات تصاعدياً أو تنازلياً. بمعنى أن تكون البيانات التي على يمين الوسيط ويسار الوسيط نفس العدد.

كيفية حساب الوسيط

الحالة الأولى: عدد البيانات فردي

إذا كان عدد البيانات فردي (مثل 5 أو 7 أو 9)، نرتب البيانات تصاعدياً ونأخذ الرقم الذي في المنتصف.

موقع الوسيط = \frac{n + 1}{2} حيث n = عدد البيانات

الحالة الثانية: عدد البيانات زوجي

إذا كان عدد البيانات زوجي (مثل 4 أو 6 أو 8)، فلن نجد رقم واحد في المنتصف. نأخذ الرقمين اللذين في الوسط ونحسب متوسطهما.

الوسيط = \frac{\text{القيمة الوسطى الأولى} + \text{القيمة الوسطى الثانية}}{2}

مثال (1): عدد فردي من البيانات

المطلوب: أوجد الوسيط للبيانات التالية

البيانات الأصلية: 15، 22، 8، 19، 12
الخطوة الأولى: ترتيب البيانات تصاعدياً
8، 12، 15، 19، 22
الخطوة الثانية: تحديد عدد البيانات
عدد البيانات = 5 (عدد فردي)
الخطوة الثالثة: حساب موقع الوسيط
موقع الوسيط = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3
الخطوة الرابعة: تحديد الوسيط
8، 12، 15، 19، 22

القيمة في الموقع الثالث هي 15

النتيجة النهائية: الوسيط = 15

مثال (2): عدد زوجي من البيانات

المطلوب: أوجد الوسيط للبيانات التالية

البيانات الأصلية: 25، 18، 30، 22، 16، 28
الخطوة الأولى: ترتيب البيانات تصاعدياً
16، 18، 22، 25، 28، 30
الخطوة الثانية: تحديد عدد البيانات
عدد البيانات = 6 (عدد زوجي)
الخطوة الثالثة: تحديد القيمتين الوسطيتين
16، 18، 22، 25، 28، 30

القيمتان في المواقع 3 و 4 هما: 22 و 25

الخطوة الرابعة: حساب المتوسط للقيمتين الوسطيتين
الوسيط = \frac{22 + 25}{2} = \frac{47}{2} = 23.5
النتيجة النهائية: الوسيط = 23.5

مثال (3): درجات الطلاب

المطلوب: أوجد الوسيط لدرجات 9 طلاب في اختبار الرياضيات

الدرجات: 85، 92، 78، 88، 95، 82، 90، 87، 93
الخطوة الأولى: ترتيب الدرجات تصاعدياً
78، 82، 85، 87، 88، 90، 92، 93، 95
الخطوة الثانية: تحديد عدد البيانات
عدد الطلاب = 9 (عدد فردي)
الخطوة الثالثة: حساب موقع الوسيط
موقع الوسيط = \frac{9 + 1}{2} = \frac{10}{2} = 5
الخطوة الرابعة: تحديد الوسيط
78، 82، 85، 87، 88، 90، 92، 93، 95

الدرجة في الموقع الخامس هي 88

النتيجة النهائية: الوسيط = 88 درجة

مثال (4): أسعار المنازل

المطلوب: أوجد الوسيط لأسعار 8 منازل (بآلاف الريالات)

الأسعار: 450، 380، 520، 410، 480، 390، 500، 460
الخطوة الأولى: ترتيب الأسعار تصاعدياً
380، 390، 410، 450، 460، 480، 500، 520
الخطوة الثانية: تحديد عدد البيانات
عدد المنازل = 8 (عدد زوجي)
الخطوة الثالثة: تحديد القيمتين الوسطيتين
380، 390، 410، 450، 460، 480، 500، 520

القيمتان في المواقع 4 و 5 هما: 450 و 460

الخطوة الرابعة: حساب المتوسط للقيمتين الوسطيتين
الوسيط = \frac{450 + 460}{2} = \frac{910}{2} = 455
النتيجة النهائية: الوسيط = 455 ألف ريال

مثال (5): أوقات الانتظار

المطلوب: أوجد الوسيط لأوقات انتظار 7 عملاء في البنك (بالدقائق)

أوقات الانتظار: 12، 8، 15، 5، 18، 10، 14
الخطوة الأولى: ترتيب الأوقات تصاعدياً
5، 8، 10، 12، 14، 15، 18
الخطوة الثانية: تحديد عدد البيانات
عدد العملاء = 7 (عدد فردي)
الخطوة الثالثة: حساب موقع الوسيط
موقع الوسيط = \frac{7 + 1}{2} = \frac{8}{2} = 4
الخطوة الرابعة: تحديد الوسيط
5، 8، 10، 12، 14، 15، 18

الوقت في الموقع الرابع هو 12 دقيقة

النتيجة النهائية: الوسيط = 12 دقيقة

مثال (6): مثال يحتوي على قيم شاذة

المطلوب: أوجد الوسيط والمتوسط الحسابي للرواتب التالية واقارن بينهما (بآلاف الريالات)

الرواتب: 8، 9، 10، 11، 12، 50
الخطوة الأولى: ترتيب الرواتب تصاعدياً
8، 9، 10، 11، 12، 50

ملاحظة: الراتب 50 هو قيمة شاذة (مرتفع جداً مقارنة بالباقي)

الخطوة الثانية: حساب الوسيط
عدد البيانات = 6 (زوجي)
8، 9، 10، 11، 12، 50
الوسيط = \frac{10 + 11}{2} = \frac{21}{2} = 10.5
الخطوة الثالثة: حساب المتوسط الحسابي
المتوسط = \frac{8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 50}{6} = \frac{100}{6} = 16.67
الخطوة الرابعة: المقارنة

الوسيط = 10.5 ألف ريال

المتوسط الحسابي = 16.67 ألف ريال

الوسيط يعطي انطباعاً أفضل عن الرواتب الفعلية لأنه لم يتأثر بالقيمة الشاذة (50)

النتيجة النهائية: الوسيط = 10.5 ألف ريال، وهو أفضل من المتوسط الحسابي في وجود القيم الشاذة

متى يكون الوسيط أفضل من المتوسط الحسابي؟

يكون الوسيط أفضل من المتوسط الحسابي في الحالات التالية:

1. وجود قيم شاذة: عندما تحتوي البيانات على قيم مرتفعة أو منخفضة جداً مقارنة بباقي البيانات.

2. التوزيع غير المتماثل: عندما تكون البيانات منحرفة إلى اليمين أو اليسار.

3. البيانات الترتيبية: عندما نريد معرفة القيمة التي تقسم البيانات إلى نصفين متساويين.

مثال على ذلك: أسعار المنازل في حي معين قد تحتوي على:

• منازل عادية: 300-500 ألف ريال
• قصر فخم: 2 مليون ريال (قيمة شاذة)
• بيت قديم: 100 ألف ريال (قيمة شاذة)

في هذه الحالة، الوسيط يعطي فكرة أفضل عن السعر المعتاد للمنازل من المتوسط الحسابي.

خلاصة الدرس

خطوات حساب الوسيط:

1. ترتيب البيانات تصاعدياً أو تنازلياً
2. تحديد عدد البيانات (فردي أم زوجي)
3. إذا كان العدد فردي: الوسيط = القيمة الوسطى
4. إذا كان العدد زوجي: الوسيط = متوسط القيمتين الوسطيتين

الوسيط مقياس مهم في الإحصاء لأنه لا يتأثر بالقيم الشاذة، مما يجعله أكثر دقة في وصف البيانات في كثير من الحالات العملية.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
51
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...
الوسيط | أكاديمية موسى