مقياس النزعة المركزية: المتوسط الحسابي - الوسيط - المنوال

مقاييس النزعة المركزية - المتوسط الحسابي - الوسيط - المنوال مقاييس النزعة المركزية - المتوسط الحسابي - الوسيط - المنوال

مقاييس النزعة المركزية

المتوسط الحسابي - الوسيط - المنوال

بعد مرحلة تجميع البيانات بالشكل الصحيح، نحتاج إلى طريقة لتحليل هذه البيانات. من الطرق المتعارف عليها في عالم الإحصاء استخراج المتوسط الحسابي و الوسيط و المنوال.

المتوسط الحسابي (Arithmetic Mean)

المتوسط الحسابي هو أكثر مقاييس النزعة المركزية استخداماً. نحسبه بجمع كل البيانات وقسمتها على عدد العينات.

المتوسط الحسابي = \frac{\sum x}{n}

حيث:

\sum x = مجموع جميع القيم
n = عدد القيم

الوسيط (Median)

الوسيط هو العدد أو القيمة التي تأتي في المنتصف إذا رتبنا البيانات تصاعدياً أو تنازلياً. يقسم البيانات إلى نصفين متساويين.

إذا كان عدد البيانات فردي: الوسيط = القيمة الوسطى

إذا كان عدد البيانات زوجي: الوسيط = متوسط القيمتين الوسطيتين

المنوال (Mode)

المنوال هو القيمة الأكثر تكراراً في مجموعة البيانات. قد يكون رقماً أو قيمة أخرى مثل لون معين أو نوع سيارة معين.

ملاحظة: المنوال مفيد عندما نريد معرفة الشيء الأكثر شيوعاً في البيانات.

مثال (1): درجات الطلاب (حساب جميع المقاييس)

المطلوب: أوجد المتوسط الحسابي والوسيط والمنوال للدرجات التالية

درجات 10 طلاب: 85، 90، 78، 90، 88، 92، 85، 90، 87، 85
الخطوة الأولى: حساب المتوسط الحسابي
مجموع الدرجات = 85 + 90 + 78 + 90 + 88 + 92 + 85 + 90 + 87 + 85 = 870
المتوسط الحسابي = \frac{870}{10} = 87
الخطوة الثانية: حساب الوسيط
ترتيب الدرجات تصاعدياً: 78، 85، 85، 85، 87، 88، 90، 90، 90، 92
عدد البيانات = 10 (زوجي)
القيمتان الوسطيتان: 87، 88
الوسيط = \frac{87 + 88}{2} = 87.5
الخطوة الثالثة: حساب المنوال
الدرجةالتكرار
781
853
871
881
903
921

الدرجتان 85 و 90 تكررتا 3 مرات لكل منهما

النتائج: المتوسط = 87، الوسيط = 87.5، المنوال = 85 و 90 (منوال مزدوج)

مثال (2): أحجام أكواب القهوة

المطلوب: حدد المنوال لأحجام الأكواب المباعة في يوم واحد

البيانات: صغير، وسط، كبير، صغير، وسط، صغير، كبير، صغير، وسط، صغير
الخطوة الأولى: حساب تكرار كل حجم
حجم الكوبالتكرار
صغير5
وسط3
كبير2
الخطوة الثانية: تحديد المنوال

الحجم الأكثر تكراراً هو "صغير" بـ 5 مرات

النتيجة النهائية: المنوال = صغير (الحجم الأكثر شيوعاً)

مثال (3): أسعار المنازل (مع قيم شاذة)

المطلوب: قارن بين المتوسط والوسيط لأسعار المنازل (بآلاف الريالات)

الأسعار: 400، 420، 380، 450، 410، 2000، 430، 390
الخطوة الأولى: حساب المتوسط الحسابي
مجموع الأسعار = 400 + 420 + 380 + 450 + 410 + 2000 + 430 + 390 = 4880
المتوسط الحسابي = \frac{4880}{8} = 610 ألف ريال
الخطوة الثانية: حساب الوسيط
ترتيب الأسعار: 380، 390، 400، 410، 420، 430، 450، 2000
القيمتان الوسطيتان: 410، 420
الوسيط = \frac{410 + 420}{2} = 415 ألف ريال
الخطوة الثالثة: المقارنة والتحليل

المتوسط الحسابي = 610 ألف ريال (متأثر بالقيمة الشاذة 2000)

الوسيط = 415 ألف ريال (يمثل الأسعار الفعلية بشكل أفضل)

الاستنتاج: الوسيط (415) أفضل من المتوسط (610) لوجود قيمة شاذة (منزل فخم بسعر 2000)

مثال (4): ألوان السيارات الأكثر شيوعاً

المطلوب: حدد اللون الأكثر شيوعاً من بيانات 20 سيارة

البيانات: أبيض، أسود، أبيض، فضي، أبيض، أحمر، أسود، أبيض، فضي، أبيض، أسود، أبيض، أزرق، أبيض، أسود، فضي، أبيض، أسود، أبيض، أبيض
الخطوة الأولى: حساب تكرار كل لون
لون السيارةالتكرار
أبيض10
أسود5
فضي3
أحمر1
أزرق1
الخطوة الثانية: تحديد المنوال

اللون الأكثر تكراراً هو "أبيض" بـ 10 مرات من أصل 20

نسبة انتشار اللون الأبيض = \frac{10}{20} = 50\%
النتيجة النهائية: المنوال = أبيض (اللون الأكثر شيوعاً بنسبة 50%)

مثال (5): رواتب الموظفين

المطلوب: احسب جميع مقاييس النزعة المركزية للرواتب (بآلاف الريالات)

الرواتب: 8، 9، 8، 10، 12، 8، 11، 9، 8، 10، 9
الخطوة الأولى: حساب المتوسط الحسابي
مجموع الرواتب = 8 + 9 + 8 + 10 + 12 + 8 + 11 + 9 + 8 + 10 + 9 = 102
المتوسط الحسابي = \frac{102}{11} = 9.27 ألف ريال
الخطوة الثانية: حساب الوسيط
ترتيب الرواتب: 8، 8، 8، 8، 9، 9، 9، 10، 10، 11، 12
عدد البيانات = 11 (فردي)، الموقع الوسطي = \frac{11 + 1}{2} = 6
الراتب في الموقع 6: 9 ألف ريال
الخطوة الثالثة: حساب المنوال
الراتبالتكرار
84
93
102
111
121

الراتب الأكثر تكراراً هو 8 ألف ريال

النتائج: المتوسط = 9.27، الوسيط = 9، المنوال = 8 (جميعها بآلاف الريالات)

مثال (6): مقارنة شاملة مع جدول

المطلوب: احسب وقارن جميع المقاييس لدرجات الحرارة اليومية (بالدرجة المئوية)

درجات الحرارة لأسبوع: 28، 30، 28، 32، 28، 35، 29
الخطوة الأولى: حساب المتوسط الحسابي
المتوسط = \frac{28 + 30 + 28 + 32 + 28 + 35 + 29}{7} = \frac{210}{7} = 30 درجة
الخطوة الثانية: حساب الوسيط
ترتيب درجات الحرارة: 28، 28، 28، 29، 30، 32، 35
الوسيط = 29 درجة (الموقع الرابع من 7)
الخطوة الثالثة: حساب المنوال
المنوال = 28 درجة (تكررت 3 مرات)
الخطوة الرابعة: جدول المقارنة
المقياسالقيمةالتفسير
المتوسط الحسابي30°متوسط درجة الحرارة الأسبوعية
الوسيط29°درجة الحرارة الوسطى
المنوال28°درجة الحرارة الأكثر تكراراً
التحليل: المتوسط أعلى قليلاً بسبب اليوم الحار (35°)، والمنوال يمثل درجة الحرارة المعتادة

متى نستخدم كل مقياس؟

المتوسط الحسابي:

• مفيد عندما تكون البيانات موزعة بانتظام
• يتأثر بالقيم الشاذة
• مناسب للحسابات الرياضية

الوسيط:

• أفضل عند وجود قيم شاذة
• لا يتأثر بالقيم المتطرفة
• مناسب للبيانات المنحرفة

المنوال:

• مفيد للبيانات النوعية (ألوان، أنواع)
• يحدد القيمة الأكثر شيوعاً
• قد لا يوجد أو يكون متعدد

مثال تطبيقي: في تحليل أسعار المنازل، إذا كان هناك قصر واحد بسعر مليونين وبقية المنازل بين 300-500 ألف، فالوسيط يعطي انطباعاً أفضل من المتوسط الحسابي عن الأسعار الفعلية.

خلاصة الدرس

المقياسالتعريفمتى يُستخدم
المتوسط الحسابيمجموع القيم ÷ عددهاالبيانات العادية بدون قيم شاذة
الوسيطالقيمة الوسطى بعد الترتيبوجود قيم شاذة أو بيانات منحرفة
المنوالالقيمة الأكثر تكراراًالبيانات النوعية أو معرفة الأكثر شيوعاً

فهم هذه المقاييس الثلاثة ومعرفة متى نستخدم كل منها أساسي في تحليل البيانات واتخاذ القرارات الصحيحة في الحياة العملية.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
37
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...