الأعداد المركبة وخط الأعداد

الشرح

الأعداد المركبة وخط الأعداد

الموضوع: مفهوم الأعداد المركبة والمستوى المركب

المفاهيم: خط الأعداد، المستوى المركب، الأعداد التخيلية (i)، الجزء الحقيقي والتخيلي، الصورة القطبية والديكارتية

الهدف: فهم كيف يتحول خط الأعداد إلى مستوى عند إدخال الأعداد التخيلية وكيفية تمثيل الأعداد المركبة

المقدمة

من خط أحادي البعد إلى مستوى ثنائي الأبعاد
خط الأعداد التقليدي:

تعودنا على التعامل مع خط الأعداد (Number Line):

... ← -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 → ...
• اليمين: الأعداد الموجبة (1, 2, 3, ...)
• المركز: الصفر (0)
• اليسار: الأعداد السالبة (-1, -2, -3, ...)
الأعداد = خط واحد = بُعد واحد (One Dimension)
السؤال: ماذا لو أضفنا بُعداً ثانياً؟

لو فرضنا وجود بُعد ثانٍ:

• خط الأعداد يتحول إلى مستوى (Plane)
• مثل المستوى الديكارتي أو المستوى القطبي
• كل عدد يصبح له موقع في المستوى
• كل عدد يصبح له زاوية!

بُعد ثانٍ = المستوى المركب (Complex Plane)
إضافة بُعد ثانٍ يحول خط الأعداد إلى مستوى الأعداد المركبة

1 المستوى المركب والزوايا

في المستوى المركب، كل عدد له زاوية
1
المحور الأفقي: الأعداد الحقيقية (Real Axis)
المحور الأفقي = الأعداد الحقيقية (Real Numbers)

الأعداد الموجبة (يمين الصفر):
• الأعداد: 1, 2, 3, 4, ...
• الزاوية: θ = 0°
• على المحور الأفقي الموجب
الأعداد السالبة (يسار الصفر):
• الأعداد: -1, -2, -3, -4, ...
• الزاوية: θ = 180°
• على المحور الأفقي السالب
المحور الأفقي = نفس خط الأعداد التقليدي
2
المحور العمودي: الأعداد التخيلية (Imaginary Axis)
المحور العمودي = الأعداد التخيلية (Imaginary Numbers)

الأعداد التخيلية الموجبة (فوق الصفر):
• الأعداد: i, 2i, 3i, 4i, ...
• الزاوية: θ = 90°
• على المحور العمودي الموجب

ما هو i؟
• i = imaginary (تخيلي)
• i = √(-1)
• الوحدة التخيلية الأساسية
الأعداد التخيلية السالبة (تحت الصفر):
• الأعداد: -i, -2i, -3i, -4i, ...
• الزاوية: θ = -90° (أو 270°)
• على المحور العمودي السالب
المحور العمودي = المحور التخيلي
المحور الأفقي = حقيقي | المحور العمودي = تخيلي

2 الأعداد المركبة

الأعداد في المستوى = جزء حقيقي + جزء تخيلي
1
التعريف
الأعداد في المستوى المركب:

• على المحور الأفقي: أعداد حقيقية فقط (مثل 2, -3, 5)
• على المحور العمودي: أعداد تخيلية فقط (مثل 3i, -2i)
• في المستوى (الأرباع الأربعة): أعداد مركبة!
العدد المركب (Complex Number)
عدد له جزء حقيقي و جزء تخيلي
z = a + bi
حيث: a = الجزء الحقيقي، b = الجزء التخيلي
لماذا "مركب"؟
لأنه مركب (مكون) من:
• جزء حقيقي (Real Part)
• + جزء تخيلي (Imaginary Part)
2
مثال (1): العدد 1 + 2i
العدد المركب: z = 1 + 2i

الجزء الحقيقي (Real Part):
\text{Re}(z) = 1
(على المحور الأفقي عند 1)
الجزء التخيلي (Imaginary Part):
\text{Im}(z) = 2
(على المحور العمودي عند 2i)
الموقع في المستوى:
الربع الأول (أعلى اليمين)
النقطة: (1, 2) في الإحداثيات الديكارتية
3
مثال (2): العدد -1 - 2i
العدد المركب: z = -1 - 2i

الجزء الحقيقي:
\text{Re}(z) = -1
(سالب، على يسار الصفر)
الجزء التخيلي:
\text{Im}(z) = -2
(سالب، تحت الصفر)
الموقع في المستوى:
الربع الثالث (أسفل اليسار)
النقطة: (-1, -2) في الإحداثيات الديكارتية
العدد المركب = a (حقيقي) + bi (تخيلي)

3 الصورة القطبية للأعداد المركبة

يمكن تمثيل الأعداد المركبة بالصورة القطبية أو الديكارتية
1
المستوى = الزوايا موجودة
الملاحظة الأساسية:
لأن نظام الأعداد أصبح مستوى وليس خط:

• كل عدد له زاوية (θ)
• كل عدد له مسافة من الأصل (r)
• يمكن استخدام الإحداثيات القطبية!
• يمكن استخدام الإحداثيات الديكارتية!
نفس المبادئ التي درسناها في الإحداثيات القطبية تنطبق هنا!
2
الصورة القطبية
التمثيل القطبي للعدد المركب:

(r, \theta)
حيث: r = المسافة من الأصل، θ = الزاوية
مثال: العدد المركب بالصورة القطبية (2, 30°)

• r = 2: المسافة من الأصل = 2 وحدة
• θ = 30°: الزاوية من المحور الحقيقي الموجب
3
التحويل من القطبية إلى الديكارتية
السؤال: إذا كان التمثيل بالصورة القطبية (r, θ)، كيف نجد الجزء الحقيقي والتخيلي؟

الجواب: نستخدم ما تعلمناه في الدروس السابقة!

الجزء الحقيقي (Real Part):
a = r \cos(\theta)
الجزء التخيلي (Imaginary Part):
b = r \sin(\theta)
مثال: (2, 30°)

الجزء الحقيقي:
a = 2\cos(30°) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
الجزء التخيلي:
b = 2\sin(30°) = 2 \times \frac{1}{2} = 1
الصورة الديكارتية:
z = \sqrt{3} + i
القطبية (r, θ) ← الديكارتية: a = r cos θ, b = r sin θ

4 الصورة المتعارف عليها

الصورة القياسية للأعداد المركبة بدلالة r و θ
1
الصيغة القياسية
الطريقة المعتادة لتمثيل الأعداد المركبة:

الصيغة القياسية (Standard Form)
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
مكونات الصيغة:

• z: رمز العدد المركب (Complex Number)
• r: المسافة (البُعد) إلى العدد المركب من الأصل
• θ: الزاوية من المحور الحقيقي الموجب
• cos θ + i sin θ: الجزء الاتجاهي
لماذا هذه الصيغة؟

عند فتح القوس:
z = r\cos\theta + ir\sin\theta
نحصل على:
• الجزء الحقيقي: r cos θ
• الجزء التخيلي: r sin θ
بالضبط كما تعلمنا!
2
فائدة هذه الصيغة
لماذا نستخدم هذه الصيغة؟

الفوائد:

✓ تسهل عملية الضرب:
ضرب عددين مركبين يصبح أسهل

✓ تسهل عملية القسمة:
قسمة عددين مركبين تصبح أبسط

✓ تسهل رفع الأس:
حساب z² أو z³ يصبح مباشراً

سندرس هذه العمليات في الدرس القادم!
هذه الصيغة هي الأساس لعمليات الأعداد المركبة
z = r(cos θ + i sin θ) الصيغة القياسية المتعارف عليها

الملخص النهائي

من خط إلى مستوى

خط الأعداد
↓
بُعد ثانٍ
↓
المستوى المركب

المحاور

أفقي = حقيقي
عمودي = تخيلي
↓
z = a + bi

الصورة القطبية

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
↓
للضرب والقسمة

النقاط الرئيسية

• خط الأعداد التقليدي = بُعد واحد فقط
• إضافة بُعد ثانٍ = المستوى المركب
• المحور الأفقي: الأعداد الحقيقية (موجبة عند 0°، سالبة عند 180°)
• المحور العمودي: الأعداد التخيلية (موجبة عند 90°، سالبة عند -90°)
• i = الوحدة التخيلية = √(-1)
• العدد المركب: z = a + bi (جزء حقيقي + جزء تخيلي)
• يمكن تمثيل الأعداد المركبة بالصورة القطبية (r, θ)
• التحويل: a = r cos θ، b = r sin θ
• الصيغة القياسية: z = r(cos θ + i sin θ)
• هذه الصيغة تسهل الضرب والقسمة (الدرس القادم)

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
10
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...