الاحتمال المشروط (Conditional Probability)

الموضوع: الاحتمال المشروط وكيفية حسابه

المفاهيم: الاحتمال المشروط، الأحداث المرتبطة، فضاء العينة

الهدف: فهم قاعدة الاحتمال المشروط وتطبيقها على الأمثلة

المقدمة

ما هو احتمال حدوث شيء إذا علمنا أن شيئاً آخر حدث؟

الاحتمال المشروط يُستخدم عندما يكون عندنا حدثان (Event A و Event B)، ونريد معرفة احتمال حدوث أحدهما إذا علمنا أن الآخر حدث.

مثال:
• ما احتمال ظهور العدد 3 من رمية نرد؟ (احتمال عادي)
• ما احتمال ظهور العدد 3 إذا علمنا أن العدد فردي؟ (احتمال مشروط)

الفرق:
في الاحتمال المشروط، نحن نحصر النتائج المحتملة بناءً على معلومة إضافية.

ملاحظة مهمة:
• إذا كان الحدثان مرتبطين (غير مستقلين)، الاحتمال المشروط سيغير النتيجة
• قد يرفع الاحتمال أو يقلله أو لا يؤثر (إذا كانا مستقلين)

الاحتمال المشروط يحصر فضاء العينة بناءً على معلومة معروفة

1 قاعدة الاحتمال المشروط

البسط: احتمال حدوثهما معاً | المقام: احتمال الشرط

القاعدة

أول شيء لازم نعرف أن عندنا حدثين: حدث A وحدث B

السؤال: ما هو احتمال حدوث B إذا علمنا أن A حدث؟

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

حيث:
•

P(B|A)

= احتمال حدوث B إذا علمنا أن A حدث
•

P(A \cap B)

= احتمال حدوثهما معاً
•

P(A)

= احتمال حدوث A (الشرط الذي تحقق)

خطوات الحساب

إذا شفنا احتمال مشروط:

الخطوات:
• الخطوة 1: نعرف احتمال A واحتمال B
• الخطوة 2: في البسط نحط قيمة احتمال حدوثهما معاً
• الخطوة 3: في المقام نحط احتمالية حدوث الشرط الذي حصل
• الخطوة 4: نقسم البسط على المقام

قاعدة الاحتمال المشروط: البسط (معاً) ÷ المقام (الشرط)

2 مثال: الاحتمال غير المشروط

أولاً: نحسب الاحتمالات العادية (غير المشروطة)

المثال: رمي مكعب

لو عندنا مكعب (نرد) ورميناه:

• المكعب له ستة أوجه
• كل وجه له رقم من 1 إلى 6
• فضاء العينة: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

السؤال 1: ما احتمالية ظهور الرقم 3؟

P(\text{3}) = \frac{1}{6}

لأن هناك نتيجة واحدة مرغوبة (3) من أصل 6 نتائج محتملة

الاحتمال الثاني

السؤال 2: ما احتمالية ظهور عدد فردي؟

الأعداد الفردية في المكعب: {1, 3, 5}
عدد الأعداد الفردية = 3

P(\text{عدد فردي}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

ملخص:
• الحدث A: ظهور عدد فردي → P(A) = 1/2
• الحدث B: ظهور العدد 3 → P(B) = 1/6

الاحتمالات غير المشروطة: P(3) = 1/6، P(فردي) = 1/2

3 تطبيق الاحتمال المشروط

ما احتمال ظهور 3 إذا علمنا أن العدد فردي؟

صياغة السؤال

الآن صار عندنا حدثان، يمكننا أن نسوي احتمالاً مشروطاً:

السؤال: ما هو احتمال ظهور العدد 3، مع العلم بأن العدد فردي؟

المعلومة الإضافية:
الآن صار عندنا احتمال مشروط لأننا نعلم أن العدد فردي.

هذا يحصر النتائج المحتملة من {1, 2, 3, 4, 5, 6} إلى {1, 3, 5} فقط!

خلاص، أكدنا أن العدد الذي سيظهر فردي.

التحليل:
إذا كان الحدثان مرتبطين في بعض (غير مستقلين)، فالاحتمال المشروط سيغير النتيجة.
يا إما يرفع النتيجة أو يقلل النتيجة، أو إذا كان لا يؤثر في النتيجة فلن يغير شيئاً.

تطبيق القاعدة

نسوي احتمال مشروط: احتمالية حدوث B إذا علمنا أن A حصلت

الخطوة 1: تحديد الأحداث
• A = العدد فردي
• B = العدد 3

الخطوة 2: البسط - احتمال حدوثهما معاً
احتمالية ظهور عدد فردي وبنفس الوقت 3

العدد 3 هو فردي، فالحدثان يحصلان معاً عندما يظهر 3

P(\text{3 و فردي}) = P(\text{3}) = \frac{1}{6}

الخطوة 3: المقام - احتمال الشرط
احتمالية الشرط الذي تحقق (كون العدد فردي)

P(\text{فردي}) = \frac{1}{2}

الخطوة 4: تطبيق القاعدة

P(\text{3}|\text{فردي}) = \frac{P(\text{3 و فردي})}{P(\text{فردي})}

= \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}}

= \frac{1}{6} \times \frac{2}{1} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

النتيجة النهائية: P(3|فردي) = 1/3

الاحتمال ارتفع من 1/6 إلى 1/3 بسبب حصر فضاء العينة!

التفسير

لماذا تغيرت النتيجة؟

بدون شرط:
فضاء العينة = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 احتمالات
احتمال ظهور 3 = 1/6

مع الشرط (العدد فردي):
فضاء العينة المحصور = {1, 3, 5} → 3 احتمالات فقط
احتمال ظهور 3 من بين الأعداد الفردية = 1/3

حصرنا النتائج المحتملة، فارتفع احتمال ظهور 3 من 1/6 إلى 1/3!

الشرط حصر فضاء العينة من 6 نتائج إلى 3 نتائج، فارتفع الاحتمال

الملخص النهائي

القاعدة

P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}

↓
البسط: معاً
↓
المقام: الشرط

بدون شرط

P(3) = 1/6

↓
من أصل 6 نتائج
↓
{1,2,3,4,5,6}

مع الشرط

P(3|فردي) = 1/3

↓
من أصل 3 نتائج
↓
{1,3,5}

النقاط الأساسية:

الاحتمال المشروط يحسب احتمال حدث بناءً على معلومة معروفة
القاعدة: نقسم احتمال حدوثهما معاً على احتمال الشرط
الشرط يحصر فضاء العينة ويغير الاحتمالات
إذا كانت الأحداث مرتبطة، الشرط يؤثر على النتيجة

الاحتمال المشروط (Conditional Probability)

الشرح