التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية

الشرح

التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية

الموضوع: كيفية تحويل النقاط من الصيغة القطبية (r, θ) إلى الصيغة الديكارتية (x, y)

المفاهيم: قوانين التحويل، المثلث القائم، التعامل مع الإشارات السالبة، النقاط المكافئة

الهدف: إتقان عملية التحويل بين النظامين الإحداثيين باستخدام قوانين sin و cos

المقدمة

نحتاج أحياناً للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية المألوفة
مراجعة سريعة للإحداثيات القطبية:

لتمثيل نقطة في المستوى القطبي:
• أولاً: نجد البعد عن القطب (r)
• ثانياً: نجد الزاوية من المحور القطبي (θ)

الصيغة القطبية
(r, \theta)
المسافة من القطب، الزاوية من المحور القطبي
الحاجة للتحويل:
أحياناً نحتاج تحويل النقطة من الصيغة القطبية (r, \theta) إلى الصيغة الديكارتية (x, y) التي تعودنا عليها سابقاً

السؤال الأساسي:
كيف نجد إحداثي X وإحداثي Y من المعلومات القطبية؟
التحويل يعتمد على المثلث القائم الزاوية وقوانين sin و cos

1 قوانين التحويل

قوانين بسيطة تربط الإحداثيات القطبية بالديكارتية
1
المثلث القائم الزاوية
الملاحظة الأساسية:
عند رسم نقطة بالصيغة القطبية وإسقاطها على المحاور، يتكون مثلث قائم الزاوية

مكونات المثلث:
• الوتر: r (المسافة من القطب)
• الضلع الأفقي: x (الإحداثي على محور X)
• الضلع العمودي: y (الإحداثي على محور Y)
• الزاوية: θ (الزاوية من المحور القطبي)
باستخدام قوانين المثلث القائم:
نستطيع إيجاد x و y من r و θ
2
القوانين الأساسية
من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية:

قانون إحداثي X
x = r \cos(\theta)
(المسافة × جيب تمام الزاوية)
قانون إحداثي Y
y = r \sin(\theta)
(المسافة × جيب الزاوية)
ملاحظة:
هذان القانونان يجب حفظهما واستخدامهما في كل عملية تحويل
x = r cos(θ) و y = r sin(θ)

2 أمثلة بقيم موجبة

تطبيق قوانين التحويل على نقاط بقيم موجبة
1
مثال (1): نقطة (3, 30°)
المعطى: نقطة بالصيغة القطبية (3, 30°)
• البعد عن القطب: r = 3
• الزاوية من المحور القطبي: θ = 30°

المطلوب: تحويلها إلى الصيغة الديكارتية (x, y)

الحل:

الخطوة 1: حساب x
x = r \cos(\theta)
x = 3 \cos(30°)
x = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}
x = \frac{3\sqrt{3}}{2}
الخطوة 2: حساب y
y = r \sin(\theta)
y = 3 \sin(30°)
y = 3 \times \frac{1}{2}
y = \frac{3}{2}
النتيجة النهائية:
\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}\right)
2
مثال (2): نقطة (5, π/3)
المعطى: نقطة بالصيغة القطبية (5, \frac{\pi}{3})

ملاحظة: الزاوية بالراديان، نحولها للدرجات:
\pi = 180°
\frac{\pi}{3} = \frac{180°}{3} = 60°

المطلوب: تحويلها إلى الصيغة الديكارتية

الحل:

x = 5 \cos(60°) = 5 \times \frac{1}{2} = \frac{5}{2}
y = 5 \sin(60°) = 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5\sqrt{3}}{2}
النتيجة:
\left(\frac{5}{2}, \frac{5\sqrt{3}}{2}\right)
نطبق القوانين مباشرة: x = r cos(θ) و y = r sin(θ)

3 التعامل مع الإشارات السالبة

كيف نتعامل مع r سالب أو θ سالب؟
1
تمثيل الإشارات السالبة
الزاوية السالبة (θ < 0):
• الإشارة السالبة تعني الدوران مع عقارب الساعة (للأسفل)
• مثال: -120° تعني ننزل 120° مع عقارب الساعة

المسافة السالبة (r < 0):
• بدلاً من الرسم في الطريقة المعتادة من القطب باتجاه الزاوية
• نعكس الاتجاه ونرسم في الاتجاه المعاكس
• مثال: إذا كانت الزاوية تشير للأسفل، فـ r السالب يجعلنا نرسم للأعلى

نبدأ دائماً بتحديد الزاوية أولاً (لأنها أسهل)
ثم نطبق r في الاتجاه الصحيح
2
مثال (3): نقطة (-6, -120°)
المعطى: (-6, -120°)
• r = -6 (سالب)
• θ = -120° (سالب)

المطلوب: تحويلها إلى صيغة ديكارتية وفهم كيفية تمثيلها

خطوات التمثيل البصري:

الخطوة 1: الزاوية -120°
• سالبة → مع عقارب الساعة (للأسفل)
• ننزل 120° من المحور القطبي
الخطوة 2: المسافة -6
• سالبة → نعكس الاتجاه
• بدلاً من الذهاب للأسفل (حيث الزاوية)، نذهب للأعلى (الاتجاه المعاكس)
النقطة المكافئة:
(-6, -120°) = (6, 60°)
(نفس النقطة، تمثيلان مختلفان)
التحويل المباشر (قبل الرسم):

x = -6 \cos(-120°)
y = -6 \sin(-120°)
3
إثبات التكافؤ
نحول بالطريقتين ونثبت أنهما تعطيان نفس النتيجة:

الطريقة الأولى: (-6, -120°)

حساب x:
x = -6 \cos(-120°)
\cos(-120°) = -\frac{1}{2}
x = -6 \times (-\frac{1}{2}) = 3
حساب y:
y = -6 \sin(-120°)
\sin(-120°) = -\frac{\sqrt{3}}{2}
y = -6 \times (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 3\sqrt{3}
الطريقة الثانية: (6, 60°)

حساب x:
x = 6 \cos(60°)
\cos(60°) = \frac{1}{2}
x = 6 \times \frac{1}{2} = 3
حساب y:
y = 6 \sin(60°)
\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}
y = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}
✓ نفس النتيجة!
(3, 3\sqrt{3})
هذا يثبت أن النقطتين متكافئتين
القوانين تعمل مع القيم السالبة مباشرة وتعطي نفس النتيجة

الملخص النهائي

قوانين التحويل

(r, \theta) \to (x, y)
↓
x = r\cos(\theta)
y = r\sin(\theta)

الزاوية السالبة

θ < 0
↓
مع عقارب الساعة
↓
للأسفل

المسافة السالبة

r < 0
↓
عكس الاتجاه
↓
الجهة المعاكسة

النقاط الرئيسية

• قوانين التحويل: x = r cos(θ) و y = r sin(θ)
• المثلث القائم هو الأساس في استنتاج القوانين
• الزاوية السالبة تعني الدوران مع عقارب الساعة (للأسفل)
• المسافة السالبة تعني عكس الاتجاه
• (-6, -120°) = (6, 60°) نقطتان متكافئتان
• القوانين تعمل مباشرة مع القيم السالبة
• التحويل بالطريقتين يعطي نفس النتيجة النهائية

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
6
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...
التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية | أكاديمية موسى