ضرب الأعداد المركبة وقسمتها

الشرح

ضرب الأعداد المركبة وقسمتها

الموضوع: قواعد ضرب وقسمة الأعداد المركبة بالصيغة القطبية

المفاهيم: ضرب r، جمع الزوايا، قسمة r، طرح الزوايا، الدوال الزوجية والفردية، أهمية الترتيب

الهدف: إتقان عمليات الضرب والقسمة للأعداد المركبة باستخدام الصيغة القطبية

المقدمة

الصيغة القطبية تجعل ضرب وقسمة الأعداد المركبة سهلة جداً!
تذكير: الصيغة القطبية

العدد المركب بالصيغة القطبية:
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
حيث: r = المسافة من الأصل، θ = الزاوية
فائدة الصيغة القطبية:
كما ذكرنا في الدرس السابق، هذه الصيغة تسهل:
• ✓ عملية الضرب
• ✓ عملية القسمة
• ✓ رفع الأس

في هذا الدرس سنتعلم قواعد الضرب والقسمة
الصيغة القطبية تحول العمليات المعقدة إلى عمليات بسيطة

1 قاعدة ضرب الأعداد المركبة

اضرب المسافات وأجمع الزوايا
1
القاعدة الأساسية
لدينا عددان مركبان:

z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)
z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)
حاصل الضرب:

قاعدة الضرب
z_1 \times z_2 = r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)]
الخطوات:
١. اضرب المسافات (r):
r_1 \times r_2
٢. أجمع الزوايا (θ):
\theta_1 + \theta_2
2
ملاحظة مهمة: الترتيب في الجمع
في عملية الجمع للزوايا:

الترتيب غير مهم رياضياً:
\theta_1 + \theta_2 = \theta_2 + \theta_1
(الجمع عملية تبديلية)
ولكن يُفضل دائماً:
أن نحافظ على الترتيب ونكتب الزاوية الأولى أولاً
\theta_1 + \theta_2
(للتنظيم والوضوح)
الضرب: اضرب r₁ × r₂ وأجمع θ₁ + θ₂

2 قاعدة قسمة الأعداد المركبة

اقسم المسافات واطرح الزوايا
1
القاعدة الأساسية
لدينا نفس العددين:

z_1 = r_1(\cos\theta_1 + i\sin\theta_1)
z_2 = r_2(\cos\theta_2 + i\sin\theta_2)
حاصل القسمة:

قاعدة القسمة
\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2) + i\sin(\theta_1 - \theta_2)]
الخطوات:
١. اقسم المسافات (r):
\frac{r_1}{r_2}
٢. اطرح الزوايا (θ):
\theta_1 - \theta_2
2
تحذير مهم: الترتيب في الطرح
في عملية الطرح للزوايا:

الترتيب مهم جداً!
\theta_1 - \theta_2 \neq \theta_2 - \theta_1
(الطرح عملية غير تبديلية)
السبب: الترتيب مهم خاصة في الجزء التخيلي

الجزء التخيلي: sin(θ₁ - θ₂)

sin دالة فردية (Odd Function):
\sin(-x) = -\sin(x)
إذا عكسنا الترتيب:
\sin(\theta_2 - \theta_1) = \sin(-(\theta_1 - \theta_2)) = -\sin(\theta_1 - \theta_2)
نتيجة مختلفة تماماً!
الجزء الحقيقي: cos(θ₁ - θ₂)

cos دالة زوجية (Even Function):
\cos(-x) = \cos(x)
رياضياً، عكس الترتيب لا يؤثر:
\cos(\theta_1 - \theta_2) = \cos(\theta_2 - \theta_1)
ولكن الأفضل الحفاظ على الترتيب θ₁ - θ₂
القاعدة الذهبية:
دائماً احتفظ بالترتيب: θ₁ - θ₂
القسمة: اقسم r₁ ÷ r₂ واطرح θ₁ - θ₂ (الترتيب مهم!)

3 مثال: عملية الضرب

تطبيق قاعدة الضرب على مثال عملي
1
المثال
المعطى: عددان مركبان

العدد الأول:
z_1 = 3(\cos 30° + i\sin 30°)
r₁ = 3, θ₁ = 30°
العدد الثاني:
z_2 = 5(\cos 45° + i\sin 45°)
r₂ = 5, θ₂ = 45°
المطلوب: إيجاد z₁ × z₂
2
الحل
نطبق قاعدة الضرب:

الخطوة 1: نضرب المسافات
r_1 \times r_2 = 3 \times 5 = 15
الخطوة 2: نجمع الزوايا
\theta_1 + \theta_2 = 30° + 45° = 75°
الخطوة 3: نكتب النتيجة
z_1 \times z_2 = 15(\cos 75° + i\sin 75°)
النتيجة النهائية:
15(\cos 75° + i\sin 75°)
الضرب سهل: اضرب الأرقام واجمع الزوايا

4 مثال: عملية القسمة

تطبيق قاعدة القسمة على نفس الأعداد
1
المثال
نستخدم نفس الأعداد:

العدد الأول:
z_1 = 3(\cos 30° + i\sin 30°)
r₁ = 3, θ₁ = 30°
العدد الثاني:
z_2 = 5(\cos 45° + i\sin 45°)
r₂ = 5, θ₂ = 45°
المطلوب: إيجاد z₁ ÷ z₂
2
الحل
نطبق قاعدة القسمة:

الخطوة 1: نقسم المسافات
\frac{r_1}{r_2} = \frac{3}{5}
الخطوة 2: نطرح الزوايا (انتبه للترتيب!)
\theta_1 - \theta_2 = 30° - 45° = -15°
الزاوية الأولى - الزاوية الثانية
(الترتيب مهم!)
الخطوة 3: نكتب النتيجة
\frac{z_1}{z_2} = \frac{3}{5}[\cos(-15°) + i\sin(-15°)]
النتيجة النهائية:
\frac{3}{5}[\cos(-15°) + i\sin(-15°)]
أو بشكل مكافئ:
0.6[\cos(-15°) + i\sin(-15°)]
القسمة سهلة: اقسم الأرقام واطرح الزوايا (احذر الترتيب!)

الملخص النهائي

جدول المقارنة

العملية r θ الترتيب
الضرب r_1 \times r_2 \theta_1 + \theta_2 غير مهم (يُفضل الترتيب)
القسمة \frac{r_1}{r_2} \theta_1 - \theta_2 مهم جداً!

قاعدة الضرب

z_1 \times z_2
↓
r_1r_2[\cos(\theta_1 + \theta_2)
+ i\sin(\theta_1 + \theta_2)]

قاعدة القسمة

\frac{z_1}{z_2}
↓
\frac{r_1}{r_2}[\cos(\theta_1 - \theta_2)
+ i\sin(\theta_1 - \theta_2)]

النقاط الرئيسية

• الصيغة القطبية تجعل الضرب والقسمة بسيطة جداً
• الضرب: اضرب r واجمع θ
• القسمة: اقسم r واطرح θ
• في الضرب: الترتيب غير مهم (لكن يُفضل θ₁ + θ₂)
• في القسمة: الترتيب مهم جداً! (θ₁ - θ₂)
• sin دالة فردية: sin(-x) = -sin(x) ← الترتيب يُغير النتيجة
• cos دالة زوجية: cos(-x) = cos(x) ← الترتيب لا يُغير (لكن حافظ عليه)
• القاعدة الذهبية: دائماً احتفظ بترتيب θ₁ - θ₂
• مثال الضرب: 3(cos 30° + i sin 30°) × 5(cos 45° + i sin 45°) = 15(cos 75° + i sin 75°)
• مثال القسمة: 3(cos 30° + i sin 30°) ÷ 5(cos 45° + i sin 45°) = (3/5)[cos(-15°) + i sin(-15°)]

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
18
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...