دلالة المميز في المعادلات التربيعية و أنواع الحلول

اختبر فهمك

1
ما هو المميز في القانون العام للمعادلة التربيعية؟

أسئلة متوقعة

المميز في المعادلات التربيعية — مسائل محلولة

الرياضيات — الجبر

المسألة ١
Δ موجب غير مربع كامل
المسألة ٢
Δ موجب مربع كامل
المسألة ٣
Δ سالب
المسألة ٤
ترتيب ثم Δ
١ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها
2x^2 + 3x - 3 = 0
الخطوة ١ — المعاملات:
a = 2 \quad b = 3 \quad c = -3
الخطوة ٢ — حساب المميز:
\Delta = 3^2 - 4(2)(-3) = 9 + 24 = 33
— Δ = 33 > 0 ← حلان حقيقيان.
— 33 ليس مربعاً كاملاً ← الحلان غير نسبيين.
— \sqrt{33} لا يُبسَّط.
جذران حقيقيان غير نسبيين
٢ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها
-5x^2 + 4x + 1 = 0
الخطوة ١ — المعاملات:
a = -5 \quad b = 4 \quad c = 1
الخطوة ٢ — حساب المميز:
\Delta = 4^2 - 4(-5)(1) = 16 + 20 = 36
— Δ = 36 > 0 ← حلان حقيقيان.
— 36 مربع كامل ← الحلان نسبيان.
— \sqrt{36} = 6
جذران حقيقيان نسبيان
٣ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها
-6x^2 + 5 = -4x + 8
الخطوة ١ — ترتيب المعادلة:
-6x^2 + 4x - 3 = 0
الخطوة ٢ — المعاملات:
a = -6 \quad b = 4 \quad c = -3
الخطوة ٣ — حساب المميز:
\Delta = 4^2 - 4(-6)(-3) = 16 - 72 = -56
— Δ = −56 < 0 ← المميز سالب ← حلان مركبان.
جذران مركبان مترافقان
٤ أوجد عدد الجذور وحدد نوعها
4x - 3 = -12x^2
الخطوة ١ — ترتيب المعادلة:
12x^2 + 4x - 3 = 0
الخطوة ٢ — المعاملات:
a = 12 \quad b = 4 \quad c = -3
الخطوة ٣ — حساب المميز:
\Delta = 4^2 - 4(12)(-3) = 16 + 144 = 160
— Δ = 160 > 0 ← حلان حقيقيان.
— 160 ليس مربعاً كاملاً ← الحلان غير نسبيين.
— \sqrt{160} = 4\sqrt{10}
جذران حقيقيان غير نسبيين
٥ ملخص نتائج المسائل
المسألة المميز نوع الجذور
2x² + 3x − 3 = 0Δ = 33حقيقيان غير نسبيين
−5x² + 4x + 1 = 0Δ = 36حقيقيان نسبيان
−6x² + 4x − 3 = 0Δ = −56مركبان مترافقان
12x² + 4x − 3 = 0Δ = 160حقيقيان غير نسبيين
٦ الخلاصة
— رتّب المعادلة أولاً إذا لم تكن على الشكل القياسي قبل تحديد a و b و c.
— Δ سالب: حلان مركبان دائماً — لا يوجد حل حقيقي.
— Δ موجب مربع كامل: حلان نسبيان — جذره عدد صحيح.
— Δ موجب غير مربع كامل: حلان غير نسبيين — جذره يحتوي على √.
— انتبه للإشارات عند حساب 4ac — خاصة عندما يكون a أو c سالباً.

الشرح

المميز في المعادلات التربيعية

الرياضيات — الجبر

Δ = 0
حل مكرر واحد
Δ < 0
حلان مركبان
Δ > 0
حلان حقيقيان
١ تعريف المميز
— في القانون العام، الجزء الذي تحت الجذر يُسمى المميز.
— بمجرد حسابه نعرف نوع الحل قبل إيجاده.
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\Delta = b^2 - 4ac

إشارة المميز تحدد هل الحلول حقيقية أم مركبة، ومكررة أم مختلفة

المميز = b² − 4ac
٢ الحالة الأولى — المميز = صفر
نوع الحل حل واحد مكرر — حلان متساويان
الشكل البياني رأس المنحنى يمس محور x — نقطة تماس واحدة
x = \frac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} = \frac{-b}{2a}
— مثال: x^2 + 4x + 4 = 0
\Delta = 4^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0
x = \frac{-4}{2} = -2 \quad \text{(حل مكرر)}
Δ = 0 ← حل واحد مكرر
٣ الحالة الثانية — المميز أقل من صفر
نوع الحل عددان مركبان مترافقان — جزء حقيقي ± جزء تخيلي
الشكل البياني المنحنى لا يتقاطع مع محور x نهائياً
— عندما Δ < 0، الجذر يكون لعدد سالب فينتج جزء تخيلي.
— مثال: x^2 + 2x + 5 = 0
\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16
x = -1 \pm 2i
Δ < 0 ← حلان مركبان مترافقان
٤ الحالة الثالثة — المميز أكبر من صفر
نوع الحل حلان حقيقيان مختلفان دائماً
الشكل البياني المنحنى يتقاطع مع محور x في نقطتين واضحتين
— أ) مربع كامل (1، 4، 9، 16 ...): الجذر عدد صحيح ← حلان نسبيان.
— ب) غير مربع كامل (2، 3، 5، 6 ...): الجذر غير نسبي ← حلان يحتويان جذوراً.
\Delta = 1 \;\Rightarrow\; x = 2 \;\text{ أو }\; x = 3

مربع كامل ← حلان نسبيان صحيحان

\Delta = 2 \;\Rightarrow\; x = 1 + \sqrt{2} \;\text{ أو }\; x = 1 - \sqrt{2}

غير مربع كامل ← حلان حقيقيان غير نسبيين

— مثال: x^2 - 5x + 6 = 0
\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1

1 مربع كامل ← حلان نسبيان: x = 2 أو x = 3

Δ > 0 ← حلان حقيقيان مختلفان
٥ ملخص حالات المميز
قيمة المميز نوع الحل الشكل البياني
Δ = 0 حل واحد مكرر (نسبي) يمس محور x في نقطة واحدة
Δ < 0 حلان مركبان مترافقان لا يقطع محور x
Δ > 0 مربع كامل حلان حقيقيان نسبيان يقطع محور x في نقطتين
Δ > 0 غير مربع كامل حلان حقيقيان غير نسبيين يقطع محور x في نقطتين
٦ الخلاصة
— المميز: Δ = b² − 4ac — احسبه أولاً لمعرفة نوع الحل.
— Δ = 0: حل مكرر واحد — المنحنى يمس محور x.
— Δ < 0: حلان مركبان — المنحنى لا يقطع محور x.
— Δ > 0 مربع كامل: حلان نسبيان صحيحان أو كسريان.
— Δ > 0 غير مربع كامل: حلان حقيقيان غير نسبيين تحتوي على جذور.

حل بالخطوات

1
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 + 4x + 4 = 0
2
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 + 2x + 5 = 0
3
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 - 5x + 6 = 0
4
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 - 4x + 2 = 0
5
حدد نوع الحل للمعادلة 2x^2 + 4x + 3 = 0
6
حدد نوع الحل للمعادلة x^2 - 6x + 9 = 0
7
حدد نوع الحل للمعادلة 3x^2 - 2x - 1 = 0
8
قارن بين أنواع الحلول للمعادلات الثلاث: x^2 + 1 = 0، x^2 - 1 = 0، x^2 = 0
الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...