ضرب الأعداد المركبة و قسمتها

اختبر فهمك

اختبار: ضرب وقسمة الأعداد المركبة

1
ما هو ناتج (3 + 2i)(4 - i)؟

أسئلة متوقعة

1

احسب ناتج ضرب العددين المركبين:

(2 + 4i) \times (9 - 3i)

طريقة الحل

1توزيع الضرب على جميع الحدود

(2 + 4i)(9 - 3i) = 2 \times 9 + 2 \times (-3i) + 4i \times 9 + 4i \times (-3i)

2حساب كل عملية ضرب

= 18 - 6i + 36i - 12i^2

3استخدام i^2 = -1

= 18 - 6i + 36i - 12(-1) = 18 - 6i + 36i + 12

4تجميع الأجزاء المتشابهة

الجزء الحقيقي: 18 + 12 = 30
الجزء التخيلي: -6i + 36i = 30i
النتيجة: 30 + 30i
الإجابة النهائية: 30 + 30i
2

احسب ناتج قسمة العددين المركبين:

\frac{2i}{3 + 6i}

طريقة الحل

1ضرب البسط والمقام في العدد المرافق للمقام

العدد المرافق لـ (3 + 6i) هو (3 - 6i)
\frac{2i}{3 + 6i} \times \frac{3 - 6i}{3 - 6i}

2حساب البسط

2i(3 - 6i) = 2i \times 3 + 2i \times (-6i)
= 6i - 12i^2 = 6i - 12(-1) = 6i + 12
البسط = 12 + 6i

3حساب المقام باستخدام فرق المربعين

(3 + 6i)(3 - 6i) = 3^2 - (6i)^2
= 9 - 36i^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45

4كتابة النتيجة وتبسيطها

\frac{12 + 6i}{45} = \frac{12}{45} + \frac{6i}{45} = \frac{12}{45} + \frac{6}{45}i
تبسيط: \frac{12}{45} = \frac{4}{15} و \frac{6}{45} = \frac{2}{15}
النتيجة: \frac{4}{15} + \frac{2}{15}i
الإجابة النهائية: \frac{4}{15} + \frac{2}{15}i

الشرح

ضرب وقسمة الأعداد المركبة

الموضوع: عمليات الضرب والقسمة على الأعداد المركبة

المفاهيم: ضرب الأعداد المركبة، العدد المرافق، قسمة الأعداد المركبة، فرق المربعين

الهدف: إتقان عمليات الضرب والقسمة للأعداد المركبة والوصول لنتائج بجزء حقيقي وتخيلي

1 ضرب الأعداد المركبة

مثال: (2 + 4i) \times (9 - 3i)
1
ضرب الحد الأول بكل حدود القوس الثاني
2 \times 9 = 18 و 2 \times (-3i) = -6i
2
ضرب الحد الثاني بكل حدود القوس الثاني
4i \times 9 = 36i و 4i \times (-3i) = -12i^2
3
استخدام i^2 = -1 وتبسيط النتائج
-12i^2 = -12 \times (-1) = +12
4
تجميع الأجزاء المتشابهة
الجزء الحقيقي: 18 + 12 = 30
الجزء التخيلي: -6i + 36i = 30i
النتيجة: (2 + 4i) \times (9 - 3i) = 30 + 30i

2 العدد المرافق للعدد المركب

إذا كان العدد المركب: a + bi
1
تعريف العدد المرافق
العدد المرافق لـ a + bi هو a - bi
2
خاصية مهمة: ضرب العدد في مرافقه
(a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2 = a^2 - b^2i^2 = a^2 + b^2 (عدد حقيقي)
ضرب العدد المركب في مرافقه دائماً يعطي عدد حقيقي

3 قسمة الأعداد المركبة

مثال: \frac{2i}{3 + 6i}
1
ضرب البسط والمقام في مرافق المقام
\frac{2i}{3 + 6i} \times \frac{3 - 6i}{3 - 6i} = \frac{2i(3 - 6i)}{(3 + 6i)(3 - 6i)}
2
حساب البسط
2i \times 3 = 6i و 2i \times (-6i) = -12i^2 = -12(-1) = +12
البسط = 6i + 12 = 12 + 6i
3
حساب المقام باستخدام فرق المربعين
(3 + 6i)(3 - 6i) = 3^2 - (6i)^2 = 9 - 36i^2 = 9 - 36(-1) = 9 + 36 = 45
4
كتابة النتيجة بالصيغة القياسية
\frac{12 + 6i}{45} = \frac{12}{45} + \frac{6i}{45} = \frac{4}{15} + \frac{2}{15}i
النتيجة: \frac{2i}{3 + 6i} = \frac{4}{15} + \frac{2}{15}i

4 الخطوات الأساسية

ضرب الأعداد المركبة
1. توزيع الضرب
2. استخدام i^2 = -1
3. تجميع الأجزاء المتشابهة
قسمة الأعداد المركبة
1. إيجاد العدد المرافق
2. ضرب البسط والمقام
3. تبسيط وفصل الأجزاء
الهدف دائماً: الوصول إلى جزء حقيقي وجزء تخيلي منفصلين

نصائح مهمة:

• تذكر أن i^2 = -1 دائماً
• استخدم العدد المرافق في القسمة
• فرق المربعين: (a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2
• اجمع الأجزاء المتشابهة في النهاية
• تأكد من تبسيط الكسور في النتيجة النهائية
• النتيجة النهائية دائماً: جزء حقيقي + جزء تخيلي

حل بالخطوات

1
احسب (2 + 4i) \times (9 - 3i)
2
احسب \frac{2i}{3 + 6i}
3
احسب (3 + 2i)(4 - i)
4
احسب \frac{3 + i}{2 - i}
5
احسب (1 + 2i)^2
6
احسب \frac{4i}{1 + i}
7
احسب i \times (3 - 2i)
8
احسب \frac{1}{i}

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
1,214
الدرس التالي
ثاني ثانوي الفصل الأول
جاري تحميل التعليقات...
ضرب الأعداد المركبة و قسمتها | أكاديمية موسى