قاعدة كرامر لحل نظام من معادلتين

طريقة كريمر لحل نظام المعادلات الخطية - النقاط الأساسية

1️⃣ فهم مصفوفة المعاملات وحساب محددتها

2️⃣ إنشاء المصفوفات المساعدة لكل متغير

3️⃣ تطبيق قانون كريمر لحساب قيم المتغيرات

4️⃣ التحقق من صحة الحل بالتعويض

5️⃣ معرفة شروط تطبيق طريقة كريمر

1️⃣ مقدمة عن طريقة كريمر

طريقة كريمر هي طريقة منتظمة وخوارزمية لحل نظام المعادلات الخطية تعتمد على حساب محددات المصفوفات. تتميز هذه الطريقة بأنها قابلة للبرمجة بسهولة ومناسبة للحوسبة.

\text{للنظام: } \begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}

الحل بطريقة كريمر يعطى بالصيغ التالية حيث D هي محددة مصفوفة المعاملات.

2️⃣ قانون كريمر

أساس طريقة كريمر يعتمد على حساب محددات المصفوفات المختلفة والقسمة عليها.

قانون كريمر

x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}

حيث D ≠ 0 ، وD هي محددة مصفوفة المعاملات

3️⃣ خطوات تطبيق طريقة كريمر

لحل نظام المعادلات بطريقة كريمر نتبع الخطوات المتسلسلة التالية:

خطوات الحل بطريقة كريمر

إنشاء مصفوفة المعاملات وحساب محددتها D

إنشاء المصفوفات المساعدة

استبدال أعمدة المتغيرات بعمود الثوابت

حساب محددات المصفوفات المساعدة

D_x, D_y, D_z, ...

تطبيق قانون كريمر لحساب قيم المتغيرات

ملاحظة: يجب أن تكون محددة مصفوفة المعاملات D ≠ 0 لضمان وجود حل وحيد للنظام.

4️⃣ مثال تطبيقي شامل

لنطبق طريقة كريمر على المثال المذكور في الصوت: حل النظام التالي

مثال: حل النظام

النظام المعطى:

\begin{cases} 5x - 6y = 15 \\ 3x + 4y = -29 \end{cases}

الخطوة 1: مصفوفة المعاملات ومحددتها

نكوّن مصفوفة المعاملات من معاملات x و y:

A = \begin{bmatrix} 5 & -6 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

حساب المحددة:

D = \begin{vmatrix} 5 & -6 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = (5)(4) - (-6)(3) = 20 + 18 = 38

الخطوة 2: حساب D_x

نستبدل عمود x بعمود الثوابت:

D_x = \begin{vmatrix} 15 & -6 \\ -29 & 4 \end{vmatrix}

D_x = (15)(4) - (-6)(-29) = 60 - 174 = -114

الخطوة 3: حساب D_y

نستبدل عمود y بعمود الثوابت:

D_y = \begin{vmatrix} 5 & 15 \\ 3 & -29 \end{vmatrix}

D_y = (5)(-29) - (15)(3) = -145 - 45 = -190

الحل النهائي:

x = \frac{D_x}{D} = \frac{-114}{38} = -3

y = \frac{D_y}{D} = \frac{-190}{38} = -5

التحقق:

5(-3) - 6(-5) = -15 + 30 = 15 \,\checkmark

3(-3) + 4(-5) = -9 - 20 = -29 \,\checkmark

5️⃣ شروط وخصائص مهمة

هناك عدة شروط وخصائص مهمة يجب مراعاتها عند استخدام طريقة كريمر.

📋 شروط وقواعد مهمة

1️⃣ شرط الوجود: محددة مصفوفة المعاملات D ≠ 0

2️⃣ عدد المعادلات: يجب أن يساوي عدد المجاهيل

3️⃣ نوع النظام: مناسبة للأنظمة الخطية فقط

4️⃣ الحل الوحيد: تعطي حلاً وحيداً عندما D ≠ 0

5️⃣ الكفاءة الحاسوبية: مناسبة للبرمجة والخوارزميات

6️⃣ التحقق: يُنصح بالتحقق من الحل بالتعويض

ملخص النقاط الأساسية

1️⃣ طريقة كريمر تعتمد على محددات المصفوفات

2️⃣ تتطلب أن تكون محددة مصفوفة المعاملات غير صفر

3️⃣ نستبدل أعمدة المتغيرات بعمود الثوابت لحساب المحددات المساعدة

4️⃣ الحل يُحسب بقسمة المحددات المساعدة على محددة المعاملات

5️⃣ طريقة منتظمة ومناسبة للبرمجة والحوسبة