الاحتمال الهندسي

الشرح

الاحتمال الهندسي

رياضيات — الاحتمالات

الهدف: فهم الاحتمال الهندسي وتطبيق قانون (الجزء ÷ الكل) على المساحات والأطوال والأزمنة.

القياسات المستمرة
مساحة، طول، زمن، حجم
القانون
P = الجزء ÷ الكل
الافتراض
توزيع منتظم للاحتمالات
١

تعريف الاحتمال الهندسي

— الاحتمال الهندسي يُستخدم مع القياسات المستمرة بدلاً من عد النتائج المنفصلة.

— القانون الأساسي: القياس المطلوب مقسوماً على القياس الكلي.

— البسط = الجزء المطلوب، والمقام = القياس الكلي:

P = \frac{a}{b}

الأطوال: P = الطول المطلوب ÷ الطول الكلي.

المساحات: P = المساحة المطلوبة ÷ المساحة الكلية.

الأزمنة: P = الوقت المطلوب ÷ الوقت الكلي.

الحجوم: P = الحجم المطلوب ÷ الحجم الكلي.

٢

مثال ١ — رمي السهم على الدائرة

— دائرة كبيرة نصف قطرها R = 150، ودائرة حمراء داخلها نصف قطرها r = 60.

— ارمِ السهام بالضغط على الدائرة أو استخدم الأزرار:

— مساحة الدائرة الحمراء ÷ المساحة الكلية:

P = \frac{\pi \times 60^2}{\pi \times 150^2} = \frac{3600}{22500} = \frac{4}{25} = 0.16

P = 16% — لاحظ كيف تقترب النتيجة الفعلية من 16% مع زيادة السهام

٣

مثال ٢ — الاحتمال الزمني (القطار)

— قطار يصل كل ٢٠ دقيقة. وصلت المحطة في وقت عشوائي. حرّك السلايدر لتغيير وقت الانتظار المقبول:

وقت الانتظار المقبول = 5 دقائق

— عند الانتظار المقبول = 5 دقائق وفترة القطار = 20 دقيقة:

P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 25\%
٤

مثال ٣ — مساحة الحديقة والبركة

— حديقة مستطيلة 300 × 200 فيها بركة دائرية نصف قطرها r. حرّك السلايدر:

نصف قطر البركة = 50 وحدة

— عند r = 50:

P = \frac{\pi \times 50^2}{300 \times 200} = \frac{2500\pi}{60000} \approx 13.09\%
٥

مثال ٤ — لوحة مربعة مع ٤ دوائر

— لوحة مربعة ضلعها 20 سم تحتوي على ٤ دوائر نصف قطر كل منها 3 سم.

— مساحة الدوائر الأربع ÷ مساحة المربع:

P = \frac{4 \times \pi \times 3^2}{20^2} = \frac{36\pi}{400} = \frac{9\pi}{100} \approx 28.3\%

P ≈ 28.3%

ملخص أنواع الاحتمال الهندسي

النوع القانون مثال
المساحات P = م. المطلوبة ÷ م. الكلية دائرة داخل مستطيل
الأطوال P = الطول المطلوب ÷ الطول الكلي نقطة على قطعة مستقيمة
الأزمنة P = الوقت المطلوب ÷ الوقت الكلي مواعيد القطارات
الحجوم P = الحجم المطلوب ÷ الحجم الكلي كرة داخل صندوق

الخلاصة

الاحتمال الهندسي: يُستخدم مع القياسات المستمرة (لا نعد النتائج المنفصلة).

القانون: P = الجزء المطلوب ÷ الكلي — ينطبق على المساحة والطول والزمن والحجم.

الدوائر: مساحة الدائرة = πr² — الـ π يُلغى عند القسمة في أغلب مسائل الدوائر.

الافتراض الأساسي: التوزيع منتظم — كل نقطة لها نفس الاحتمالية.

جاري تحميل التعليقات...