الدورة والسعة للدوال الدورية

فهم شامل لكيفية تغيير السعة والدورة في الدوال المثلثية

---

✅ مراجعة سريعة: الدوال الأساسية

- y = sin θ → السعة = 1، الدورة = 360°

- y = cos θ → السعة = 1، الدورة = 360°

هل السعة دائماً = 1؟ وهل الدورة دائماً = 360°؟ الإجابة: لا! يمكن تعديل كلاً من السعة والدورة.

---

✅ الشكل العام للدوال المثلثية

$$y = A \sin(B\theta + C) + D$$ $$y = A \cos(B\theta + C) + D$$

- A = السعة (Amplitude)

- B = معامل تغيير الدورة

- C = الإزاحة الأفقية (Phase Shift)

- D = الإزاحة العمودية (Vertical Shift)

---

✅ السعة (Amplitude)

السعة = المسافة من خط الوسط إلى أقصى نقطة أو أدنى نقطة $$\text{السعة} = |A|$$ $$\text{السعة} = \frac{\text{أعلى قيمة} - \text{أدنى قيمة}}{2}$$

---

✅ أمثلة على تغيير السعة

#### التحليل:

- A = 4 → السعة = |4| = 4

- أعلى قيمة = 4

- أدنى قيمة = -4

- السعة = (4 - (-4))/2 = 8/2 = 4 ✅

#### الوصف:

الدالة تتأرجح بين 4 و -4 بدلاً من 1 و -1

#### التحليل:

- A = 6 → السعة = |6| = 6

- أعلى قيمة = 6

- أدنى قيمة = -6

- السعة = (6 - (-6))/2 = 12/2 = 6 ✅

#### الوصف:

الدالة تتأرجح بين 6 و -6

#### التحليل:

- A = -3 → السعة = |-3| = 3

- أعلى قيمة = 3 (لأن الإشارة السالبة تقلب الدالة)

- أدنى قيمة = -3

- السعة = (3 - (-3))/2 = 6/2 = 3 ✅

#### الوصف:

الدالة مقلوبة وتتأرجح بين 3 و -3

---

✅ الدورة (Period)

الدورة = المسافة الأفقية التي تحتاجها الدالة لتكرر نفسها $$\text{الدورة} = \frac{360°}{|B|}$$ $$\text{أو } \frac{2\pi}{|B|} \text{ بالراديان}$$

---

✅ أمثلة على تغيير الدورة

#### التحليل:

- B = 2

- الدورة = 360°/|2| = 180°

#### التفسير:

- عندما θ = 45°، فإن 2θ = 90°

- الدالة تكمل دورة كاملة في 180° بدلاً من 360°

- تسريع الدالة × 2

#### الجدول التوضيحي:

| θ | 2θ | cos(2θ) |

|-------|--------|-------------|

| 0° | 0° | 1 |

| 45° | 90° | 0 |

| 90° | 180° | -1 |

| 135° | 270° | 0 |

| 180° | 360° | 1 |

#### التحليل:

- B = 3

- الدورة = 360°/|3| = 120°

#### التفسير:

الدالة تكمل دورة كاملة في 120° فقط

#### التحليل:

- B = 1/2 = 0.5

- الدورة = 360°/|0.5| = 720°

#### التفسير:

- الدالة تحتاج 720° لتكمل دورة واحدة

- إبطاء الدالة × 2

---

✅ تأثير قيم B المختلفة

- تسريع الدالة

- تقليل طول الدورة

- كلما زاد B، قلت الدورة

- إبطاء الدالة

- زيادة طول الدورة

- كلما قل B، زادت الدورة

- انعكاس الدالة أفقياً

- طول الدورة = 360°/|B| (نأخذ القيمة المطلقة)

---

✅ أمثلة شاملة: السعة والدورة معاً

#### تحليل السعة:

- A = 5 → السعة = 5

- الدالة تتأرجح بين 5 و -5

#### تحليل الدورة:

- B = 2 → الدورة = 360°/2 = 180°

- الدالة تكرر نفسها كل 180°

#### الوصف الكامل:

دالة ساين بسعة 5 و دورة 180°

#### التحليل:

- السعة = |3| = 3

- الدورة = 360°/|4| = 90°

#### الوصف:

دالة كوساين تتأرجح بين 3 و -3 وتكرر نفسها كل 90°

#### التحليل:

- السعة = |-2| = 2

- الدورة = 360°/|1/3| = 360° × 3 = 1080°

#### الوصف:

دالة ساين مقلوبة بسعة 2 ودورة 1080°

---

✅ مثال 4: تطبيق عملي - الموجات الصوتية

موجة صوتية تُمثل بالمعادلة: y = 10 sin(440πt)

حيث t هو الزمن بالثواني. أوجد:

1. 1. السعة
2. 2. التردد (عدد الدورات في الثانية)

#### الحل:

1. السعة:

A = 10 → السعة = 10 وحدة

2. التردد:

- B = 440π

- الدورة بالراديان = 2π/|440π| = 2π/(440π) = 1/220 ثانية

- التردد = 1/(الدورة) = 220 دورة/ثانية = 220 هيرتز

التفسير: هذه نغمة موسيقية بتردد 220 هيرتز

---

✅ مثال 5: مسألة هندسية - عجلة فيريس

عجلة فيريس قطرها 50 متر، مركزها على ارتفاع 30 متر من الأرض. تكمل دورة كاملة في 8 دقائق.

اكتب معادلة لارتفاع راكب بعد t دقيقة من بداية الحركة.

#### الحل:

تحديد المتغيرات:

- نصف القطر = 25 متر (السعة)

- ارتفاع المركز = 30 متر (الإزاحة العمودية)

- الدورة = 8 دقائق

حساب B: $$B = \frac{360°}{8} = 45° \text{ في الدقيقة}$$ المعادلة: $$h(t) = 25 \cos(45°t) + 30$$ التحقق:

- عند t = 0: h = 25 cos(0°) + 30 = 25 + 30 = 55 متر (أعلى نقطة)

- عند t = 4: h = 25 cos(180°) + 30 = -25 + 30 = 5 متر (أدنى نقطة)

---

✅ مثال 6: مسألة فيزيائية - البندول البسيط

بندول بسيط طوله 1 متر يتأرجح بزاوية قصوى 15°. الدورة الزمنية 2 ثانية.

اكتب معادلة لزاوية البندول مع الرأسي بعد t ثانية.

#### الحل:

تحديد المتغيرات:

- السعة = 15°

- الدورة = 2 ثانية

حساب B: $$B = \frac{360°}{2} = 180° \text{ في الثانية}$$ المعادلة: $$\theta(t) = 15 \cos(180°t)$$ التفسير:

البندول يبدأ من أقصى زاوية ويتأرجح مع دورة 2 ثانية.

---

✅ مثال 7: تحليل بيانات - درجات الحرارة السنوية

في مدينة معينة، درجة الحرارة السنوية تتبع النمط:

- أعلى حرارة: 35°م في يوليو

- أدنى حرارة: 5°م في يناير

- الدورة: 12 شهر

اكتب معادلة لدرجة الحرارة بعد t شهر من يناير.

#### الحل:

حساب السعة: $$\text{السعة} = \frac{35 - 5}{2} = 15°$$ حساب المتوسط: $$\text{المتوسط} = \frac{35 + 5}{2} = 20°$$ حساب B: $$B = \frac{360°}{12} = 30° \text{ لكل شهر}$$ المعادلة: $$T(t) = -15 \cos(30°t) + 20$$ التحقق:

- يناير (t = 0): T = -15 cos(0°) + 20 = -15 + 20 = 5°م ✅

- يوليو (t = 6): T = -15 cos(180°) + 20 = 15 + 20 = 35°م ✅

---

✅ مثال 8: الموجات الكهرومغناطيسية

إشارة راديو تُمثل بالمعادلة: y = 50 sin(2π × 10⁶ t)

حيث t بالثواني. أوجد:

1. 1. السعة
2. 2. التردد
3. 3. طول الموجة (إذا كانت سرعة الضوء = 3 × 10⁸ م/ث)

#### الحل:

1. السعة:

A = 50 وحدة

2. التردد:

- B = 2π × 10⁶

- الدورة = 2π/B = 2π/(2π × 10⁶) = 10⁻⁶ ثانية

- التردد = 1/(10⁻⁶) = 10⁶ هيرتز = 1 ميجاهيرتز

3. طول الموجة: $$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3 \times 10^8}{10^6} = 300 \text{ متر}$$

---

✅ أمثلة على رسم الدوال

#### الجدول المقارن:

| θ | cos θ | 3 cos θ |

|-------|-----------|-------------|

| 0° | 1 | 3 |

| 90° | 0 | 0 |

| 180° | -1 | -3 |

| 270° | 0 | 0 |

| 360° | 1 | 3 |

#### الملاحظة:

الدالة الثانية لها نفس الشكل لكن بسعة أكبر

#### الجدول المقارن:

| θ | sin θ | sin(2θ) |

|-------|-----------|-------------|

| 0° | 0 | 0 |

| 45° | 0.707 | 1 |

| 90° | 1 | 0 |

| 135° | 0.707 | -1 |

| 180° | 0 | 0 |

#### الملاحظة:

الدالة الثانية تكمل دورة كاملة في نصف المسافة

---

✅ جدول ملخص للقيم الشائعة

| A | السعة | المدى |

|-------|-----------|-----------|

| 1 | 1 | [-1, 1] |

| 2 | 2 | [-2, 2] |

| 0.5 | 0.5 | [-0.5, 0.5] |

| -3 | 3 | [-3, 3] |

| B | الدورة | التأثير |

|-------|------------|-------------|

| 1 | 360° | طبيعي |

| 2 | 180° | تسريع × 2 |

| 0.5 | 720° | إبطاء × 2 |

| 4 | 90° | تسريع × 4 |

| 1/3 | 1080° | إبطاء × 3 |

---

✅ خطوات تحليل أي دالة دورية

$$y = A \sin(B\theta + C) + D$$

- A = معامل السعة

- B = معامل الدورة

- C = الإزاحة الأفقية

- D = الإزاحة العمودية

- السعة = |A|

- الدورة = 360°/|B|

- الإزاحة الأفقية = -C/B

- خط الوسط = D

المدى = [D - |A|, D + |A|]

---

✅ أخطاء شائعة وكيفية تجنبها

❌ خطأ: السعة = أعلى قيمة - أدنى قيمة

❌ خطأ: إذا كان A = -3، فالسعة = -3

❌ خطأ: إذا كان B = 1/2، فالدورة = 360° × (1/2) = 180°

❌ خطأ: المدى لـ y = 3 sin θ + 2 هو [-3, 3]

---

✅ تطبيقات عملية متنوعة

- نبضات القلب: y = A sin(Bt) حيث B يحدد سرعة النبض

- الموجات الدماغية: تحليل أنماط EEG

- اهتزاز المباني: تحليل الزلازل والرياح

- دوران المحركات: حساب السرعة والعزم

- الدورات الاقتصادية: نمذجة الازدهار والركود

- أسعار السلع الموسمية: تحليل التقلبات

- مدارات الكواكب: حساب المواقع والأوقات

- المد والجزر: تنبؤ مستويات المياه

- النغمات الموسيقية: تحليل الترددات والتوافقيات

- الصوتيات: تصميم المعدات الصوتية

---

✅ نصائح للحفظ والفهم

"السعة = حجم التأرجح"

- كلما زاد A، زاد التأرجح عمودياً

- الإشارة السالبة تقلب الدالة لكن لا تغير السعة

"كلما زاد B، قلت الدورة"

- B كبير = تسريع = دورة قصيرة

- B صغير = إبطاء = دورة طويلة

"A يحكم الارتفاع، B يحكم السرعة"

---

✅ الخلاصة

- السعة = |A|

- الدورة = 360°/|B|

- A و السعة: علاقة طردية

- B و الدورة: علاقة عكسية

الدوال الدورية أساسية في:

- العلوم الطبيعية (الفيزياء، الكيمياء)

- الهندسة (الإشارات، التحكم)

- الطب (تحليل الإشارات الحيوية)

- الاقتصاد (نمذجة التقلبات)

تمكن من تحليل الأنماط الدورية في الطبيعة والتكنولوجيا وتطوير نماذج رياضية دقيقة للظواهر المختلفة.