التحويلات الهندسية للدوال المثلثية

رياضيات — السعة وطول الدورة

الهدف: فهم تأثير المعاملين A وB على السعة وطول الدورة في الدوال المثلثية، والتمييز بين التسريع والتبطيء.

السعة

|A| في A × sin(θ)

الدورة

360° ÷ |B| في sin(Bθ)

التركيب

A × sin(Bθ)

تغيير السعة — الضرب خارج الدالة

— عندما نضرب الدالة في عدد A من الخارج، تتغير السعة فقط دون تغيير طول الدورة.

y = A \times \sin(\theta)

السعة = |A|

— حرّك المتحكم لترى كيف تتمدد الدالة عمودياً أو تنكمش:

A = 1

السعة = 1 | المدى: من −1 إلى 1

ملاحظة

— نأخذ القيمة المطلقة |A| لضمان أن السعة دائماً موجبة، حتى عندما تكون A سالبة.

— عندما A سالب: تنعكس الدالة رأسياً مع بقاء السعة = |A|.

مثال ١: أوجد السعة للدالة y = 4 × cos(θ).

— أعلى قيمة = 4، أقل قيمة = −4.

\frac{4 - (-4)}{2} = \frac{8}{2} = 4

— أو مباشرةً:

|A| = |4| = 4

السعة = 4 | المدى: من −4 إلى 4

تغيير طول الدورة — الضرب داخل الدالة

— عندما نضرب المتغير θ في عدد B من الداخل، يتغير طول الدورة فقط دون تغيير السعة.

y = \sin(B \times \theta)

طول الدورة = 360° ÷ |B|

— حرّك المتحكم لترى كيف تتسارع الدالة أو تتباطأ:

B = 1

طول الدورة = 360° | السرعة: طبيعية

قاعدة السرعة

— إذا كان B > 1: الدالة تتسارع وطول الدورة يقصر.

— إذا كان 0 < B < 1: الدالة تتباطأ وطول الدورة يطول.

مثال ٢: أوجد طول الدورة لكل دالة.

— cos(θ) : طول الدورة = 360° ÷ 1 = 360°

— cos(2θ) : طول الدورة = 360° ÷ 2 = 180°

— cos(θ/2) : طول الدورة = 360° ÷ 0.5 = 720°

— cos(3θ) : طول الدورة = 360° ÷ 3 = 120°

التحويلات المركبة — A وB معاً

— يمكن تطبيق كلا التحويلين معاً في دالة واحدة:

y = A \times \sin(B \times \theta)

السعة = |A| الدورة = 360° ÷ |B|

— جرّب تركيبات مختلفة من A وB:

A = 1 | B = 1

السعة: الدورة:

السعة = 1 | الدورة = 360°

مثال ٣: حلّل الدالة y = 3 × sin(2θ).

— نُعرّف المعاملين: A = 3 و B = 2.

— السعة:

|A| = |3| = 3

— طول الدورة:

\frac{360°}{|B|} = \frac{360°}{2} = 180°

— عدد الدورات في 360°:

360° \div 180° = 2

— أي دورتان كاملتان في كل 360°.

السعة = 3 | طول الدورة = 180° | دورتان في كل 360°

ملخص القوانين

التحويل	الشكل	القانون
السعة	A × sin(θ)	السعة = \|A\|
الدورة	sin(Bθ)	الدورة = 360° ÷ \|B\|
تسريع	B > 1	دورة أقصر
تبطيء	0 < B < 1	دورة أطول

الخلاصة

— السعة: العدد المضروب خارج الدالة A في y = A×sin(θ)، والسعة = |A| دائماً موجبة.

— طول الدورة: يُحسب بقسمة 360° على |B| حيث B هو المعامل داخل الدالة.

— B > 1: الدالة تتسارع وتكمل دورتها في زاوية أقل من 360°.

— 0 < B < 1: الدالة تتباطأ وتحتاج زاوية أكبر من 360° لإتمام الدورة.

— التركيب: في y = A×sin(Bθ) نُحسب السعة = |A| وطول الدورة = 360°÷|B| بشكل مستقل.

الدورة والسعة للدوال الدورية

الشرح