التوزيع ذو الحدين

رياضيات — الاحتمالات والإحصاء

الهدف: فهم شروط التوزيع ذو الحدين وتطبيق قانون P(X=x) = C(n,x)·pˣ·qⁿ⁻ˣ على مسائل النجاح والفشل.

نتيجتان فقط

نجاح أو فشل

مستقلة وثابتة

p ثابت في كل محاولة

القيمة المتوقعة

μ = n × p

شروط التوزيع ذو الحدين

— نتيجتان فقط: نجاح أو فشل في كل محاولة.

— عدد محاولات ثابت: n محاولة معلومة مسبقاً.

— احتمالية ثابتة: p نفسه في كل محاولة.

— استقلالية: نتيجة كل محاولة لا تؤثر على الأخرى.

أمثلة

— رمي قطعة معدنية n مرات (نجاح = صورة، p = 0.5).

— اختبار n منتج في خط الإنتاج (نجاح = سليم، p = 0.95).

— إجابة n سؤال صح/خطأ (نجاح = صح، p = 0.7).

قانون التوزيع ذو الحدين

— n = عدد المحاولات، x = عدد النجاحات المطلوبة، p = احتمال النجاح، q = 1 − p:

P(X = x) = \binom{n}{x} \cdot p^x \cdot q^{n-x}

— القيمة المتوقعة والتباين:

\mu = np \qquad \sigma^2 = npq

مثال — القطعة المعدنية ٦ مرات

— السؤال: رمي قطعة معدنية 6 مرات، ما احتمالية الحصول على 3 صور بالضبط؟

— n=6، x=3، p=0.5، q=0.5:

P(X=3) = \binom{6}{3}(0.5)^3(0.5)^3 = 20 \times 0.125 \times 0.125 = 0.3125

P(X=3) = 0.3125 = 31.25%

— اضغط لمحاكاة الرمي وقارن النتيجة الفعلية بالنظرية:

حاسبة التوزيع التفاعلية

— أدخل المعطيات لحساب الاحتمالية ورسم التوزيع كاملاً:

n =

x =

p =

أمثلة محلولة

— مثال ١ (نرد): رمي نرد 10 مرات، ما احتمالية ظهور الرقم 6 مرتين بالضبط؟

— n=10، x=2، p=1/6، q=5/6:

P(X=2) = \binom{10}{2}\left(\tfrac{1}{6}\right)^2\left(\tfrac{5}{6}\right)^8 = 45 \times 0.02778 \times 0.2326 \approx 0.2907

P(X=2) ≈ 29.1%

— مثال ٢ (مراقبة الجودة): خط إنتاج بنسبة عيب 5%. فحص 20 منتج، ما احتمالية وجود منتج معيب واحد بالضبط؟

— n=20، x=1، p=0.05، q=0.95:

P(X=1) = \binom{20}{1}(0.05)^1(0.95)^{19} = 20 \times 0.05 \times 0.3774 \approx 0.3774

P(X=1) ≈ 37.7%

ملخص التوزيع ذو الحدين

المكوّن	الرمز	المعنى
التوافيق	C(n,x)	عدد طرق ترتيب x نجاح في n محاولة
احتمال النجاح	pˣ	احتمال x نجاح متتالي
احتمال الفشل	qⁿ⁻ˣ	احتمال (n−x) فشل
القيمة المتوقعة	μ = np	متوسط عدد النجاحات

الخلاصة

— الشروط: نتيجتان + n ثابت + p ثابت + استقلالية.

— القانون: P(X=x) = C(n,x)·pˣ·qⁿ⁻ˣ — ثلاثة مكونات تُضرب معاً.

— C(n,x): عدد الطرق الممكنة لتوزيع x نجاح على n محاولة.

— القيمة المتوقعة: μ = np — كلما زاد p أو n، زاد متوسط النجاحات.

تجربة ذات الحدين

الشرح