حل المعادلات والمتباينات النسبية

١ استراتيجية الحل — المعادلات والمتباينات

حل المعادلة النسبية — الخطوات

الخطوة ١

أوجد LCM للمقامات

الخطوة ٢

اضرب كل طرف في LCM لإزالة الكسور

الخطوة ٣

بسّط وحلّ المعادلة الناتجة

الخطوة ٤

تحقق — استبعد القيم التي تلغي المقام

حل المتباينة النسبية — الخطوات

الخطوة ١

حدّد القيم المستثناة (المقام = 0)

الخطوة ٢

حلّ المعادلة المرتبطة (بدّل < بـ =)

الخطوة ٣

ارسم خطًّا لتقسيم الأعداد إلى فترات

الخطوة ٤

اختبر قيمة من كل فترة

٢ مثال ١ — حل معادلة نسبية

\frac{2x}{x+5} - \frac{x^2-x-10}{x^2+8x+15} = \frac{3}{x+3}

LCM للمقامات

x^2+8x+15 = (x+3)(x+5)

LCM = (x+3)(x+5)

اضرب في LCM

(x+3)(2x) - (x^2-x-10) = 3(x+5)

خاصية التوزيع

2x^2+6x - x^2+x+10 = 3x+15

x^2+7x+10 = 3x+15

رتّب وحلّل

x^2+4x-5 = 0

(x+5)(x-1) = 0

الحلول المحتملة

x = -5 \quad \text{or} \quad x = 1

التحقق: x = −5 تلغي المقام (x+5) ← مرفوضة. x = 1 صحيحة ✓

الجواب

x = 1

٣ مثال ٢ — استعمال المعادلات النسبية في مسائل الحركة

ركب سعيد قاربًا سرعته 6 mi/h في الماء الراكدة وسار 10 mi؛ نصفها مع التيار ونصفها عكسه، واستغرق 3h. أوجد سرعة التيار v.

العلاقة

t = \frac{d}{r}

مع التيار

\dfrac{5}{6+v}

عكس التيار

\dfrac{5}{6-v}

المعادلة

\dfrac{5}{6+v} + \dfrac{5}{6-v} = 3

LCM = (6+v)(6−v)

(6-v)(5) + (6+v)(5) = 3(36-v^2)

60 = 108 - 3v^2

رتّب وحلّل

3v^2 = 48 \Rightarrow v^2 = 16 \Rightarrow v = \pm 4

السرعة لا تكون سالبة ← v = −4 مرفوضة

الجواب

v = 4 \text{ mi/h}

٤ مثال ٣ — حل متباينة نسبية

\frac{x}{3} - \frac{1}{x-2} < \frac{x+1}{4}

القيمة المستثناة

x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2

المعادلة المرتبطة — اضرب في 12(x−2)

4x(x-2) - 12 = 3(x+1)(x-2)

x^2-5x-6 = 0

(x-6)(x+1) = 0 \Rightarrow x=6 \text{ or } x=-1

النقاط الحرجة: x = −1، x = 2، x = 6 — خط الأعداد

الفترة	قيمة الاختبار	النتيجة	يحقق؟
x < −1	x = −3	−1 + ¼ < −½ → لا	✗
−1 < x < 2	x = 0	0 + ½ < ¼ → لا	✗
2 < x < 6	x = 4	⁵⁄₆ < ⁵⁄₄ → نعم	✓
x > 6	x = 8	³⁰⁄₁₂ < ²⁷⁄₁₂ → لا	✗

الجواب

2 < x < 6

٥ أداة تفاعلية — التحقق من حلول المعادلة النسبية

اختر معادلة وحرّك المنزلق لترى البيان وموضع الحل.

—

قيمة x 1.0

الطرف الأيسر

—

الطرف الأيمن

—

الفرق

—

حل المعادلات والمتباينات النسبية

الشرح

حل المعادلات والمتباينات النسبية