خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

القاعدة

f(f⁻¹(x)) = x

الخطوات

بدّل x وy ← حلّ لـ y

التماثل

مجال f = مدى f⁻¹

١ خطوات إيجاد الدالة العكسية

خطوة ١ تأكد أن الدالة تجتاز اختبار الخط الأفقي (One-to-One)

خطوة ٢ استبدل f(x) بـ y ثم بدّل x وy مع بعض

خطوة ٣ حلّ المعادلة بالنسبة لـ y — هذا هو f⁻¹(x)

خطوة ٤ حدّد مجال ومدى الدالة العكسية

— مجال f⁻¹ = مدى f — مدى f⁻¹ = مجال f.
— إذا كانت النقطة (a, b) على f فإن (b, a) على f⁻¹.

٢ مثال ١ — دالة خطية بسيطة

f(x) = x + 5

الاختبار دالة خطية — تجتاز اختبار الخط الأفقي ✓

نكتب y = x + 5

نبدّل x = y + 5

نحلّ y = x − 5

f⁻¹(x) = x − 5 — المجال والمدى: ℝ

٣ مثال ٢ — دالة خطية بمعامل

f(x) = 2x

نكتب y = 2x

نبدّل x = 2y

نحلّ

y = \dfrac{x}{2}

f⁻¹(x) = x / 2 — المجال والمدى: ℝ

— f⁻¹ تعني الدالة العكسية وليست 1/f(x) — فرق جوهري.

٤ مثال ٣ — دالة كسرية

f(x) = \frac{x+7}{x}

نبدّل

x = \frac{y+7}{y} = 1 + \frac{7}{y}

نطرح ١

x - 1 = \frac{7}{y}

نحلّ

y = \frac{7}{x-1}

f⁻¹(x) = 7 / (x − 1)

مجال f ℝ − {0}

مدى f ℝ − {1}

مجال f⁻¹ ℝ − {1}

مدى f⁻¹ ℝ − {0}

٥ رسم بياني تفاعلي — f وf⁻¹

اختر دالة لترى منحناها وعكسيتها وخط التماثل:

f(x) f⁻¹(x) y = x

٦ تمارين محلولة

تمرين ١:

f(x) = 3x - 2

نبدّلx = 3y − 2

نحلّ

f^{-1}(x) = \frac{x+2}{3}

f⁻¹(x) = (x + 2) / 3 — المجال والمدى: ℝ

تمرين ٢:

f(x) = x^3

نبدّلx = y³

نحلّ

f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}

f⁻¹(x) = ³√x — المجال والمدى: ℝ

تمرين ٣ — كسرية:

f(x) = \frac{2x+1}{x-3}

ضرب تقاطعي

x(y-3) = 2y+1

نجمع y

y(x-2) = 3x+1

نحلّ

f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2}

f⁻¹(x) = (3x + 1) / (x − 2) — المجال: ℝ − {2}

تمرين ٤ — جذرية:

f(x) = \sqrt{x-4}

نبدّلx = √(y − 4)

نربّع

x^2 = y - 4

نحلّ

f^{-1}(x) = x^2 + 4 \quad (x \geq 0)

f⁻¹(x) = x² + 4 (x ≥ 0) — المجال: [0, ∞)

٧ رسم التمارين — اختر وتحقق

اختر تمريناً لترى رسمه:

f(x) f⁻¹(x) y = x

∑ جدول ملخص

الدالة f(x)	العكسية f⁻¹(x)	قيد
x + 5	x − 5	—
3x − 2	(x + 2) / 3	—
x³	³√x	—
(2x+1)/(x−3)	(3x+1)/(x−2)	x ≠ 2
√(x − 4)	x² + 4	x ≥ 0

✓ الخلاصة

— الخطوة الأساسية: بدّل x وy ثم حلّ المعادلة بالنسبة لـ y.

— المجال والمدى: يتبادلان بين f وf⁻¹ دائماً.

— الدوال الكسرية: الضرب التقاطعي يُبسّط الحلّ.

— الدوال الجذرية: التربيع ضروري مع الانتباه لقيد المجال.

خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

الشرح

إيجاد الدالة العكسية