– في هذا الدرس راح نأخذ أمثلة على استخدام قانون مساحة المثلث العام، وهو:

$\text{مساحة المثلث}=\frac{1}{2}\times a\times b\times \sin (\gamma )$

حيث $a$ و$b$ هما طولا الضلعين، و$\gamma$ هي الزاوية المحصورة بينهما.

– مثال 1:

– لدينا مثلث أضلاعه:

– الضلع الأول $=8$ سم

– الضلع الثاني $=9$ سم

– الزاوية المحصورة بينهما $\gamma =104^{\circ }$

– إذا حاولنا استخدام قانون “نصف القاعدة في الارتفاع” المعتاد، نحتاج أولًا نوجد الارتفاع.

– لإيجاد الارتفاع، نمدّ الضلع الذي اخترناه قاعدة، ثم نرسم من الرأس المقابل إسقاطًا عموديًا على هذا الضلع.

– هنا ستكون هناك صعوبة لأن الزاوية ليست قائمة، فيضطرّ الطلبة لتمديد الضلع وإسقاط عمودي بشكل هندسي معقد.

– الأسهل هو استخدام القانون العام مباشرةً:

1\. نضرب طولي الضلعين معًا:

$8\times 9$

2\. نضرب الناتج في $\sin (104^{\circ })$:

$(8\times 9)\times \sin (104^{\circ })$

3\. لا تنسى إنّنا نضرب في $\frac{1}{2}$:

$\text{مساحة}=\frac{1}{2}\times 8\times 9\times \sin (104^{\circ })$

4\. نحسب القيمة عددياً (تقريبًا):

– $\sin (104^{\circ })\approx 0.970$

– إذن:

$\text{مساحة}\approx \frac{1}{2}\times 8\times 9\times 0.970$

$\text{مساحة}\approx \frac{1}{2}\times 72\times 0.970$

$\text{مساحة}\approx 36\times 0.970$

$\text{مساحة}\approx 34.92{\text{ سم}}^2$

– مثال 2 (حالة الزاوية قائمة):

– نفس المثال السابق، لكن إذا كانت الزاوية $\gamma =90^{\circ }$، تصبح الزاوية قائمة.

– في هذه الحالة:

$\sin (90^{\circ })=1$

– في القانون العام:

$\text{مساحة}=\frac{1}{2}\times 8\times 9\times \sin (90^{\circ })$

$\text{مساحة}=\frac{1}{2}\times 8\times 9\times 1$

$\text{مساحة}=\frac{1}{2}\times 72$

$\text{مساحة}=36{\text{ سم}}^2$

– هذا يطابق بالضبط قانون “نصف القاعدة في الارتفاع”، لأنّ إذا كانت الزاوية قائمة، يصبح أحد الضلعين هو الارتفاع بالنسبة للآخر:

– نختار الضلع $9$ قاعدة.

– يصبح الارتفاع $=8$ سم (لأنّ الضلع الثاني عمودي عليها).

– بالتالي:

$\text{مساحة}=\frac{1}{2}\times 9\times 8=36{\text{ سم}}^2$

– ملخص النقاط الرئيسية:

إذا كانت الزاوية المحصورة ليست قائمة، نستخدم:

$\text{مساحة}=\frac{1}{2}ab\sin (\gamma )$

إذا كانت الزاوية المحصورة قائمة ($90^{\circ }$)، يتحوّل القانون العام تلقائيًا إلى قانون فيثاغورس المعروف بـ“نصف القاعدة في الارتفاع”.

دلالة $\sin (\gamma )$:

– كلما اقتربت $\gamma$ من $90^{\circ }$، صارت القيمة $\sin (\gamma )$ أقرب إلى 1، فيقترب قانون “نصف القاعدة في الارتفاع”.

– أما إذا كانت $\gamma$ أقل أو أكثر من $90^{\circ }$، تُؤخذ قيمتها الحقيقية في $\sin$ لحساب المساحة بدقّة.