في هذا الدرس راح نتعلم قانون جيوب التمام، وهو قانون يربط طولَ ظلعٍ في المثلث بطولَي الظلعين الآخرين وبتابع جيب التمام (cos) للزاوية بينهما.

نصُّ القانون للمثلث ذي الأضلاع $a$، $b$، $c$ والزوايا المقابلة لها $\alpha$، $\beta$، $\gamma$:

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos \left(\alpha \right)$

لاحظ إن هذا القانون قريب جدًا من نظرية فيثاغورس، إذ لو كانت $\alpha =90^{\circ }$، فإنّ $\cos (90^{\circ })=0$.

* فعندها تصير المعادلة:

$a^2=b^2+c^2-2bc\times 0$

$a^2=b^2+c^2$

وهذا يتفق تمامًا مع نظرية فيثاغورس للمثلث القائم.

إذا كانت الزاوية $\alpha$ أصغر من $90^{\circ }$، فإنّ $\cos (\alpha )$ يكون موجبًا، فتقلّ قيمة العبارة التي تُطرح من $b^2+c^2$.

بمعنى آخر، يصبح $a^2$ أكبر قليلًا من $b^2+c^2$ عندما تكون $\alpha <90^{\circ }$، أي عندما يكون المثلث حاد الزاوية عند $\alpha$.

أمّا إذا كانت الزاوية $\alpha$ أكبر من $90^{\circ }$، فإنّ $\cos (\alpha )$ يكون سالبًا، فيزيد بالتالي مصطلح $-2bc\cos (\alpha )$ قيمةً (لأنّ طرح سالب يعني جمع).

* فيصبح $a^2$ أكبر كثيرًا من $b^2+c^2$ عندما تكون $\alpha >90^{\circ }$، أي عندما يكون المثلث منفرج الزاوية عند $\alpha$.

نكرر الأمر نفسه للأضلاع والزوايا الأخرى:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos \left(\beta \right)$

$c^2=a^2+b^2-2ab\cos \left(\gamma \right)$

* حيث $\beta$ هي الزاوية المقابلة للضلع $b$، و$\gamma$ هي الزاوية المقابلة للضلع $c$.

ملخصٌ لحفظ القانون:

1. ابدأ بتحديد الضلع المقابل للزاوية التي تريد استخدامها.

2. اجمع مربّعي طولَي الضلعين الآخرين.

3. اطرح منها الضرب المضاعف بين طولي الظلعين الآخرين ومضاعف جيب التمام للزاوية بينهما.

4. إذا كانت الزاوية $90^{\circ }$، ينعدم مصطلح الطرح ($\cos (90^{\circ })=0$) فيتطابق القانون مع فيثاغورس.

أمثلة سريعة:

إذا كان لدينا مثلث أطوال أضلاعه $a=5$، $b=7$، $c=8$، وزاوية $\alpha$ بين $b$ و$c$ تساوي $60^{\circ }$:

$a^2=7^2+8^2-2\times 7\times 8\times \cos \left(60^{\circ }\right)$

$a^2=49+64-112\times \frac{1}{2}$

$a^2=113-56=57$

$a=\sqrt{57}$

* إذا كان المثلث قائمًا عند الزاوية $\beta =90^{\circ }$، فإنّ:

$b^2=a^2+c^2-2ac\cos (90^{\circ })$

بما أنّ $\cos (90^{\circ })=0$،

$b^2=a^2+c^2$

وهو تمامًا قانون فيثاغورس.

بهذه الطريقة نقدر نحفظ قانون جيوب التمام بسهولة ونفهمه كتعميم لفيثاغورس لكل أنواع الزوايا في المثلث.