– دائرة الوحدة هي دَائرةٌ نِصفُ قُطرِها يُساوي 1، ولذلك سُمّيت دائرة الوحدة. تمّ استحداثها لدراسة الحركة الدائرية بسهولة.

– إذا كان عندنا جسم يتحرّك حركةً دائريةً واعتبرناه يتحرّك على دائرةِ الوحدة، نتمكّن من معرفة إحداثياته على المحورين $X$ و$Y$ اعتمادًا على الزاوية التي قطعها.

– نفترض أن الزاوية التي قطعها الجسم تساوي $\theta$.

– إحداثي $X$ في نقطة الحركة على دائرة الوحدة يساوي الجيب التمام للزاوية.

$x=\cos (\theta )$

– إحداثي $Y$ في نقطة الحركة على دائرة الوحدة يساوي الجيب للزاوية.

$y=\sin (\theta )$

– لنتخيّل مثلثًا قائم الزاوية مُسقَطًا من النقطة على الدائرة إلى المحور الأفقي:

– الضلع المجاور للزاوية $\theta$ يمثل قيمة $\cos (\theta )$، والوَتر طوله 1 (لأنّ نصف القطر يساوي 1).

– الضلع المقابل للزاوية $\theta$ يمثل قيمة $\sin (\theta )$، والوَتر دائمًا 1.

– مثال رقمي:

– إذا كانت $\theta =70^{\circ }$، فإنّ

$x=\cos (70^{\circ })$

$y=\sin (70^{\circ })$

– نحسب القيمتين ليخرُج معنا موقع الجسم على دائرة الوحدة.

– بفضل دائرة الوحدة، بات بإمكاننا تحديد الربع الذي يقع فيه الجسم من خلال إشارة $\sin$ و$\cos$:

– في الربع الأول:

– كلّ من $x$ و$y$ موجبان، فيكون $\cos (\theta )>0$ و$\sin (\theta )>0$.

– في الربع الثاني:

– $x$ سالب (أي $\cos (\theta )<0$) و$y$ موجب ($\sin (\theta )>0$).

– في الربع الثالث:

– كلّ من $x$ و$y$ سالبان، فيكون $\cos (\theta )<0$ و$\sin (\theta )<0$.

– في الربع الرابع:

– $x$ موجب ($\cos (\theta )>0$) و$y$ سالب ($\sin (\theta )<0$).

– كذلك اتفقنا على علامة الزاوية:

– إذا تحرّكت النقطة أو الجسم في اتجاه الأعلى (عكس عقارب الساعة)، كانت الزاوية موجبة.

– إذا تحرّكت في اتجاه الأسفل (مع عقارب الساعة)، كانت الزاوية سالبة.

– خلاصة الاستخدامات:

– من زاوية الحركة $\theta$ نستطيع مباشرةً استخراج إحداثيات الجسم في أي لحظة بناءً على معادلتَي الجيب والجيب التمام كما سبق:

$x=\cos (\theta )$

$y=\sin (\theta )$

– نحدّد الربع بمعرفة إشارة كلّ من $\sin (\theta )$ و$\cos (\theta )$.

– هذا التمثيل مفيد في الفيزياء والهندسة لتمثيل الحركة الدائرية بشكل رياضي بسيط.

– إذا لديك أي سؤال إضافي أو حابّ إنجاز مثال عملي آخر باستخدام قيم زاوية معيّنة، أعلمني وإن شاء الله أفصّل أكثر.