في هذا الدرس راح نتكلم عن الدوال الدورية

الدوال الدورية ببساطة هي الدوال التي تعيد نفسها.

هذا يعني إنه كل ما مشينا في مجال الدالة بمقدار معين، راح ترجع للدالة نفس القيمة اللي كانت عليها قبل التغيير.

مثال شائع: دالة الجيب (sin) أو دالة جيب التمام (cos).

التعريف الرسمي:

نقول إن الدالة $f(x)$ دورية إذا وُجد عدد ثابت موجب نسميه $T$ (نُسميه فترة الدالة) بحيث:

$f(x+T)=f(x)$

هنا:

$T$ هو فترة الدورة (الدورة الكاملة).

* إذا زدنا $x$ بمقدار $T$، راح نرجع لنفس القيمة بالدالة.

* مثال: دالة الجيب والجيت التمام لها:

$\sin (x+2\pi )=\sin (x)$

$\cos (x+2\pi )=\cos (x)$

* فدورة الجيب والجيب التمام تساوي $2\pi$ (أو $360^{\circ }$).

الفترة (الدورة):

هي مقدار التغيّر في المتغيّر المستقل (مثلاً: $x$) الذي يلزم عشان ترجع قيمة الدالة لنفس النقطة.

* دالة الجيب: تبدأ من صفر، تطلع إلى واحد عند $x=\frac{\pi }{2}$، ثم ترجع للصفر عند $x=\pi$، ثم تنزل إلى سالب واحد عند $x=\frac{3\pi }{2}$، وأخيرًا ترجع للصفر عند $x=2\pi$.

* هذا يعني إنه دورة الجيب تساوي $2\pi$.

* دالة جيب التمام: تبدأ من واحد عند $x=0$، تنزل للصفر عند $x=\frac{\pi }{2}$، ثم تنزل إلى سالب واحد عند $x=\pi$، ثم ترجع للصفر عند $x=\frac{3\pi }{2}$، وأخيرًا ترجع للأصل (واحد) عند $x=2\pi$.

* دورة جيب التمام تساوي $2\pi$ أيضًا.

أمثلة على دوال دورية أخرى:

دالة المنشار (sawtooth):

تبدأ من الواحد وتنزل تدريجيًا إلى سالب واحد، ثم فجأة ترجع للواحد وتعيد نفسها.

لو رسمناها على مدى طويل من المحور الأفقي، حتشوف نفس الشكل يعيد نفسه كل فترة معينة.

الدالة المربعة (square wave):

تأخذ قيمة +1 لفترة محددة، ثم تنزل لقيمة -1 لفترة محددة، ثم ترجع لـ +1، وهكذا.

حتكرر نفسها بنفس المدة دومًا.

شرط ثابتية الفترة:

أهم شيء في الدالة الدورية إن فترة الدورة ثابتة.

يعني لازم ترجع لنفس الشكل بالضبط بعد ما نضيف نفس القيمة $T$ لأي قيمة من $x$.

إذا تغيرت الفترة، عشان ترجع نفسها تحتاج مدة ثانية مختلفة، ما تكون دالة دورية.

كيف نفسر الدوال الدورية بدائرة الوحدة:

نقدر نشوف الحركة الدائرية في دائرة الوحدة كمثال عملي.

إحداثي $x$ للنقطة المتحركة على محيط الدائرة يساوي $\cos (\theta )$.

* عند $\theta =0$: إحداثي $x=1$.

* لما تزداد $\theta$ لـ $\frac{\pi }{2}$ (أي 90°): إحداثي $x=0$.

* عند $\theta =\pi$ (180°): إحداثي $x=-1$.

* عند $\theta =\frac{3\pi }{2}$ (270°): إحداثي $x=0$ مرة ثانية بس بالسالب والسالب يتقلّص ويرجع للصفر.

* عند $\theta =2\pi$ (360°): إحداثي $x=1$، ورجعنا لنقطة البداية.

* هذا يوضح إن $\cos (\theta )$ دورية بفترة $2\pi$ لأن الإحداثي اللي مثلناه على المحور الأفقي يعيد نفسه.

أهمية الدوال الدورية:

كثير من الظواهر في الطبيعة والهندسة والإلكترونيات تكون دورية، مثل:

الموجات الصوتية (تذبذب الجسيمات).

إشارات التيار المتردد (AC) في الكهرباء.

حركة البندول.

استخدام الدوال الدورية يساعدنا نمثل هذه الظواهر بشكل رياضي دقيق.

ملخص النقاط الرئيسية:

الدالة دورية إذا: $f(x+T)=f(x)$ لكل $x$ في مجال الدالة.

* $T$ نسميه فترة الدالة (الدورة).

مثال شهير:

$\sin (x+2\pi )=\sin (x)$

* $\cos (x+2\pi )=\cos (x)$

* فدورتهم $2\pi$.

الدوال الأخرى (مثل المنشار والمربعة) دوريتهم تعتمد على المدة اللي تأخذها عشان ترجع لنفس النقطة.

لازم تكون فترة الدورة ثابتة ما تتغير من دورة لدورة.

إذا عندك أي سؤال أو حابب مثال عملي ثاني على دالة دورية، قل لي وإن شاء الله أوضح أكثر.