الاحتمال الهندسي

القياسات المستمرة

مساحة، طول، زمن، حجم

القانون

P = الجزء ÷ الكل

الافتراض

توزيع منتظم للاحتمالات

١ تعريف الاحتمال الهندسي

P = القياس المطلوب القياس الكلي

الأطوالالطول المطلوب ÷ الطول الكلي

المساحاتالمساحة المطلوبة ÷ المساحة الكلية

الأزمنةالوقت المطلوب ÷ الوقت الكلي

الحجومالحجم المطلوب ÷ الحجم الكلي

— يُستخدم مع القياسات المستمرة بدلاً من عد النتائج المنفصلة.

٢ مثال ١ — رمي السهم على الدائرة

دائرة R=150، دائرة حمراء داخلها r=60. ارمِ السهام بالضغط أو استخدم الأزرار:

نظري: 16.00% | فعلي: 0/0 = 0%

P = \frac{\pi \times 60^2}{\pi \times 150^2} = \frac{3600}{22500} = \frac{4}{25} = 16\%

P = 16% — تقترب النتيجة الفعلية من 16% مع زيادة السهام

٣ مثال ٢ — الاحتمال الزمني (القطار)

قطار يصل كل ٢٠ دقيقة. حرّك المنزلق لتغيير وقت الانتظار المقبول:

P = 5 ÷ 20 = 25.0%

وقت الانتظار المقبول 5 دقائق

P = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} = 25\%

٤ مثال ٣ — مساحة الحديقة والبركة

حديقة 300×200 فيها بركة دائرية. حرّك المنزلق لتغيير نصف القطر:

P = π×50² ÷ (300×200) = 13.09%

نصف قطر البركة 50 وحدة

P = \frac{\pi \times 50^2}{300 \times 200} = \frac{2500\pi}{60000} \approx 13.09\%

٥ مثال ٤ — لوحة مربعة مع ٤ دوائر

لوحة مربعة ضلعها 20 سم — ٤ دوائر نصف قطر كل منها 3 سم:

P = \frac{4 \times \pi \times 3^2}{20^2} = \frac{36\pi}{400} = \frac{9\pi}{100} \approx 28.3\%

P ≈ 28.3%

∑ ملخص أنواع الاحتمال الهندسي

✓ الخلاصة

— الاحتمال الهندسي: مع القياسات المستمرة — لا نعد النتائج المنفصلة.

— القانون: P = الجزء ÷ الكلي — ينطبق على المساحة والطول والزمن والحجم.

— الدوائر: مساحة = πr² — الـ π يُلغى عند القسمة في مسائل الدوائر.

— الافتراض: توزيع منتظم — كل نقطة لها نفس الاحتمالية.

الشرح