دالة المقلوب والدالة العكسية

دوال المقلوب

زاوية ← نسبة عددية

دوال المعكوس

نسبة عددية ← زاوية

سبب الخلط

الرمز −1 يعني شيئين

١ دوال المقلوب — Reciprocal Functions

التعريف مقلوب قيمة الدالة المثلثية الأصلية

المدخل زاوية θ

المخرج نسبة عددية

\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}

\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}

\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}

مدخل: زاوية ← مخرج: نسبة عددية

— السؤال الذي تجيب عنه: "كم مقلوب sin للزاوية θ؟" — النتيجة دائماً رقم.

٢ دوال المعكوس — Inverse Functions

التعريف تعيد الزاوية من نسبة مثلثية معطاة

المدخل نسبة عددية x

المخرج زاوية

\arcsin x = \sin^{-1} x

\arccos x = \cos^{-1} x

\arctan x = \tan^{-1} x

مدخل: نسبة عددية ← مخرج: زاوية

— الـ −1 في sin⁻¹ ليست أساً بل رمز للمعكوس — يُفضَّل رمز arc لتجنب اللبس.

٣ الفرق الجوهري — نفس الرمز معنيان مختلفان

دالة معكوس

\sin^{-1}\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°

مقلوب القيمة

(\sin 30°)^{-1} = 2

sin⁻¹(½) = 30° النتيجة زاوية

(sin 30°)⁻¹ = 2 النتيجة رقم

٤ أمثلة على دوال المقلوب

إذا كان sin 30° = ½ — أوجد csc 30°:

\csc 30° = \frac{1}{\sin 30°} = \frac{1}{0.5} = 2

\csc 30° = 2

إذا كان cos 60° = ½ — أوجد sec 60°:

\sec 60° = \frac{1}{\cos 60°} = \frac{1}{0.5} = 2

\sec 60° = 2

إذا كان tan 45° = 1 — أوجد cot 45°:

\cot 45° = \frac{1}{\tan 45°} = \frac{1}{1} = 1

\cot 45° = 1

٥ أمثلة على دوال المعكوس

ما الزاوية التي ساينها يساوي ½؟

\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°

\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°

ما الزاوية التي كوساينها يساوي √3/2؟

\arccos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°

\arccos\!\left(\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°

ما الزاوية التي ظلها يساوي 1؟

\arctan(1) = 45°

\arctan(1) = 45°

٦ استكشاف تفاعلي — الدائرة المثلثية

غيّر الزاوية وشاهد قيم المقلوب والمعكوس في آنٍ واحد:

الزاوية θ 30°

مقارنة sin θ و csc θ على الرسم البياني:

sin θ csc θ

٧ المجالات والمديات

دوال المقلوب:

csc θ sin θ ≠ 0 | مدى: (−∞,−1]∪[1,+∞)

sec θ cos θ ≠ 0 | مدى: (−∞,−1]∪[1,+∞)

cot θ sin θ ≠ 0 | مدى: (−∞,+∞)

دوال المعكوس:

arcsin x مجال [−1,1] | مدى [−90°,90°]

arccos x مجال [−1,1] | مدى [0°,180°]

arctan x مجال (−∞,+∞) | مدى (−90°,90°)

— arcsin(2) غير معرفة لأن 2 خارج المجال [−1, 1].
— csc 0° غير معرفة لأن sin 0° = 0.

٨ الأخطاء الشائعة

خطأ شائع ١ الاعتقاد بأن sin⁻¹ x = 1/sin x

الصواب sin⁻¹ x = arcsin x (معكوس) — 1/sin x = csc x (مقلوب)

خطأ شائع ٢ كتابة arcsin(2) وتوقع نتيجة

الصواب 2 خارج المجال [−1,1] — الدالة غير معرفة

— المقلوب يقلب الكسر — المعكوس يعكس العملية.
— استخدم رمز arc دائماً للمعكوس لتجنب اللبس مع الأس −1.

∑ جدول المقارنة

الخاصية	دوال المقلوب	دوال المعكوس
الرموز	$\csc,\ \sec,\ \cot$	$\arcsin,\ \arccos,\ \arctan$
المدخل	زاوية θ	نسبة عددية x
المخرج	نسبة عددية	زاوية
مثال	$\csc 30° = 2$	$\arcsin\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 30°$
السؤال	كم مقلوب sin للزاوية؟	ما الزاوية التي sin لها = x؟

✓ الخلاصة

— دوال المقلوب: تحسب مقلوب الدالة المثلثية — المدخل زاوية والمخرج رقم.

— دوال المعكوس: تجد الزاوية من نسبة معطاة — المدخل رقم والمخرج زاوية.

— الرمز −1: في sin⁻¹ x يعني معكوساً، وفي (sin x)⁻¹ يعني مقلوباً — فرق جوهري.

— نصيحة: استخدم رمز arc دائماً للمعكوس لتجنب اللبس.

دالة المقلوب والدالة العكسية

الشرح

الفرق بين دوال المقلوب ودوال المعكوس المثلثية