العمليات على الدوال وتركيب دالتين

العمليات الأساسية

جمع — طرح — ضرب — قسمة

تركيب الدوال

دالة داخل دالة

f(g(x))

شرط العمليات

تقاطع المجالَين

١ العمليات الأساسية على الدوال

الشرط تقاطع مجال الدالتين

الدالتان

f(x)=x^2 \qquad g(x)=\sin x + x

الجمع:

(f+g)(x) = x^2 + \sin x + x

الطرح — علامة السالب تؤثر على كامل g(x):

(f-g)(x) = x^2 - \sin x - x

الضرب:

(f \cdot g)(x) = x^2 \sin x + x^3

القسمة — يُشترط g(x) ≠ 0:

\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{x^2}{\sin x + x}

— مجال دالة القسمة هو تقاطع المجالَين باستثناء القيم التي تجعل المقام = 0.

٢ تركيب الدوال — Function Composition

المفهوم تطبيق دالة على ناتج دالة أخرى

الرمز

(f \circ g)(x) = f(g(x))

(f \circ g)(x) = f(g(x))

استكشف تدفق التركيب — x يدخل g أولاً ثم تُطبَّق f على الناتج:

x = 2 المدخل

→

g(x) —

→

f(g(x)) —

قيمة x 2

— f ∘ g ≠ g ∘ f في معظم الحالات — الترتيب مهم جداً.

٣ مثال ١ — إيجاد f(g(x))

f(x) = x^2 \qquad g(x) = \sin x + x

نُحلّ g(x) في f

f(g(x)) = (\sin x + x)^2

نفتح القوس

= \sin^2 x + 2x\sin x + x^2

f(g(x)) = \sin^2 x + 2x\sin x + x^2

٤ مثال ٢ — إيجاد g(f(x))

f(x) = x^2 \qquad g(x) = \sin x + x

نُحلّ f(x) في g

g(f(x)) = \sin(x^2) + x^2

g(f(x)) = \sin(x^2) + x^2

— sin²x + 2x·sinx + x² ≠ sin(x²) + x² — الترتيب غيّر النتيجة كلياً.

٥ مثال ٣ — تركيب متقدم

g(x) = x - 4 \qquad f(x) = x^2 + 1

إيجاد f(g(x)):

نُحلّ

f(g(x)) = (x-4)^2 + 1

نفتح

= x^2 - 8x + 16 + 1

النتيجة

= x^2 - 8x + 17

f(g(x)) = x^2 - 8x + 17

إيجاد g(f(x)):

نُحلّ

g(f(x)) = (x^2+1) - 4 = x^2 - 3

g(f(x)) = x^2 - 3

٦ خطوات تركيب الدوال

خطوة ١ حدّد الدالة الخارجية والداخلية

خطوة ٢ اكتب الدالة الخارجية كما هي

خطوة ٣ ضع الدالة الداخلية كاملةً مكان كل x في الخارجية

خطوة ٤ بسّط — افتح الأقواس واجمع الحدود المتشابهة

— الخطأ الأكثر شيوعاً: وضع الدالة الداخلية في جزء من الخارجية فقط — يجب استبدال كل x.

٧ رسم تفاعلي — قارن f∘g مع g∘f

غيّر قيمة a في g(x) = ax − 4 مع f(x) = x² + 1:

قيمة a 1

f(g(x)) = (ax−4)² + 1 g(f(x)) = a(x²+1) − 4

∑ جدول ملخص

العملية	الرمز	شرط خاص
الجمع	$(f+g)(x)$	تقاطع المجالَين
الطرح	$(f-g)(x)$	تقاطع المجالَين
الضرب	$(f \cdot g)(x)$	تقاطع المجالَين
القسمة	$\left(\tfrac{f}{g}\right)(x)$	$g(x) \neq 0$
التركيب	$(f \circ g)(x)$	f ∘ g ≠ g ∘ f