قواعد المثلثات في اختبار التحصيلي

ملخص
قواعد المثلثات في ست نقاط
مجموع الزوايا الداخلية = ، والزاوية الخارجية = مجموع الداخليتين غير المجاورتين.
ضلعان متساويان ⇔ زاويتا قاعدة متساويتان؛ والضلع الأطول يقابل الزاوية الأكبر.
القطعة المتوسطة توازي القاعدة وتساوي نصفها؛ فيثاغورس: .
التشابه بثلاث حالات: ز.ز، ض.ز.ض، ض.ض.ض.
القطع الخاصة: منصف الزاوية، العمود المنصف، الارتفاع، المتوسط.
مركز المثلث يقسم كل متوسط بنسبة ، ومجموع أي ضلعين أكبر من الثالث.
خاصية
زوايا المثلث الداخلية والخارجية
1 2 3 4 A B C الزاوية 4 زاوية خارجية للمثلث
مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي .
الزاوية الخارجية والداخلية المجاورة متكاملتان: .
الزاوية الخارجية تساوي مجموع الزاويتين الداخليتين غير المجاورتين: .
• الزاوية الخارجية أكبر من كل زاوية داخلية غير مجاورة: و .
خاصية
الأضلاع والزوايا المتقابلة
متساوي الساقين متساوي الأضلاع 60° c a b
ضلعان متساويان ⇔ زاويتان قاعديتان متساويتان (المثلث متساوي الساقين).
ثلاثة أضلاع متساوية ⇔ جميع الزوايا متساوية، وكل زاوية (المثلث متساوي الأضلاع).
الزاوية الأكبر يقابلها الضلع الأطول، والزاوية الأصغر يقابلها الضلع الأقصر. في الشكل الثالث الضلع هو الأطول لأنه يقابل الزاوية الأكبر.
قانون
القطعة المتوسطة ونظرية فيثاغورس
القطعة المتوسطة = نصف القاعدة b a c
القطعة المتوسطة تصل منتصفَي ضلعين، فتوازي الضلع الثالث وتساوي نصفه.
المثلث القائم: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي الضلعين القائمين.
نظرية
تشابه المثلثات — ثلاث حالات
6 : 3 : 5 12 : 6 : 10 زوايا متساوية وأضلاع متناسبة
يتشابه مثلثان إذا تحققت إحدى الحالات الثلاث:
ز.ز (AA): زاويتان في الأول تساويان زاويتين في الثاني.
ض.ز.ض (SAS): ضلعان متناسبان والزاوية المحصورة بينهما متساوية.
ض.ض.ض (SSS): الأضلاع الثلاثة متناسبة.
تعريف
قطع مستقيمة خاصة في المثلث
منصف الزاوية العمود المنصف الارتفاع المتوسط أربع قطع خاصة تخرج من الرأس أو تقطع الضلع
منصف الزاوية: يقسم الزاوية إلى قسمين متساويين ويصل الرأس بالضلع المقابل. أي نقطة عليه تبعد بالتساوي عن ضلعي الزاوية.
العمود المنصف: عمود على منتصف الضلع () يصنع زاوية قائمة. أي نقطة عليه تبعد بالتساوي عن طرفي الضلع.
الارتفاع: قطعة عمودية من الرأس على الضلع المقابل أو امتداده.
القطعة المتوسطة (المتوسط): تصل الرأس بمنتصف الضلع المقابل ().
نظرية
مركز المثلث — نقطة تلاقي المتوسطات
A D F 2 1
مركز المثلث هو نقطة تلاقي المتوسطات الثلاثة، ويقسم كل متوسط بنسبة .
: بُعد المركز عن الرأس يساوي ثلثَي طول المتوسط.
: بُعد المركز عن القاعدة يساوي ثُلث طول المتوسط.
: المركز يبعد عن الرأس ضعف بُعده عن منتصف القاعدة.
نظرية
المتباينات في المثلث
z x y x + y > z
الزوايا والأضلاع: الضلع الأطول يقابل الزاوية الأكبر.
نظرية: مجموع طولي أي ضلعين أكبر من الضلع الثالث.
فائدة: طول أي ضلع أصغر من مجموع الضلعين الآخرين وأكبر من فرقهما: .
نموذج تفاعلي
حرّك الرأس C وراقب مجموع الزوايا
A B C
موضع الرأس C 120
مثال 1: الزاوية الخارجية
50° 60° ?
زاويتان داخليتان في مثلث قياسهما و . ما قياس الزاوية الخارجية عند الرأس الثالث؟
الزاوية الخارجية
تحقق: الزاوية الداخلية الثالثة ، والداخلية مع الخارجية المجاورة
مثال 2: هل يمكن رسم المثلث؟
أطوال ثلاث قطع: ، ، . هل تكوّن مثلثاً؟
مجموع الضلعين الأقصر أصغر من الضلع الثالث، فلا يمكن رسم المثلث. أما الأطوال ، ، فتصلح لأن
قواعد المثلثاتزوايا المثلثنظرية فيثاغورستشابه المثلثاتمتباينة المثلثاختبار التحصيلي
جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

مجموع الزوايا الداخلية والزاوية الخارجية، العلاقة بين الأضلاع والزوايا المتقابلة، القطعة المتوسطة ونظرية فيثاغورس، حالات تشابه المثلثات، القطع الخاصة،… هذا الدرس ضمن التجميعات والتمارين لمنهج الرياضيات المرحلة الثانوية في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة