تشابه المثلثات: حالات SSS و SAS و AA

تشابه المثلثات

المثلث هو أبسط أشكال المضلعات، وله حالات خاصة لإثبات التشابه تختلف عن بقية المضلعات.

ويكفي تحقق إحدى حالات التشابه حتى نستطيع القول إن المثلثين متشابهان.

الحالة الأولى: تشابه المثلثات بتساوي زاويتين (AA)

إذا تساوت زاويتان في المثلث الأول مع الزاويتين المناظرتين لهما في المثلث الثاني، فإن المثلثين يكونان متشابهين.

وذلك لأن مجموع زوايا أي مثلث يساوي **180 درجة**، وبالتالي تكون الزاوية الثالثة متساوية تلقائياً.

الحالة الثانية: تشابه المثلثات بتناسب الأضلاع (SSS)

إذا كانت النسبة بين كل ضلع في المثلث الأول والضلع المناظر له في المثلث الثاني متساوية، فإن المثلثين يكونان متشابهين.

أي أنه عند قسمة كل ضلع في المثلث الأول على الضلع المناظر له في المثلث الثاني نحصل دائماً على نفس النسبة.

وعند تحقق هذا الشرط تكون الزوايا المتناظرة متساوية أيضاً.

الحالة الثالثة: تشابه المثلثات بضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS)

إذا كانت النسبة بين ضلعين متناظرين في المثلثين متساوية، وكانت الزاوية المحصورة بين هذين الضلعين متساوية أيضاً، فإن المثلثين يكونان متشابهين.

ولا يشترط معرفة طول الضلع الثالث لإثبات التشابه في هذه الحالة.

مثال

لدينا مثلث أطوال ضلعين فيه:

- 3 - 8

والزاوية المحصورة بينهما:

**45°**

ولدينا مثلث آخر أطوال الضلعين المناظرين فيه:

- 6 - 16

والزاوية المحصورة بينهما أيضاً:

**45°**

نلاحظ أن:

- نسبة الضلعين الأولين تساوي <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="6 ÷ 3 = 2" data-tex="6 ÷ 3 = 2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="8.171ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 3611.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(500,0)"><use data-c="F7" xlink:href="#MJXG-TEX-I-F7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1278,0)"><use data-c="33" xlink:href="#MJXG-TEX-N-33"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2055.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3111.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>. - ونسبة الضلعين الآخرين تساوي <span class="math-inline" dir="ltr" style="display:inline-block;direction:ltr;unicode-bidi:isolate;vertical-align:baseline;white-space:nowrap;margin:0 2px;"><svg aria-label="16 ÷ 8 = 2" data-tex="16 ÷ 8 = 2" style="display:inline-block;vertical-align: -0.186ex;" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="9.302ex" height="1.692ex" role="img" focusable="false" viewBox="0 -666 4111.6 748" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink"><g stroke="currentColor" fill="currentColor" stroke-width="0" transform="scale(1,-1)"><g data-mml-node="math"><g data-mml-node="mn"><use data-c="31" xlink:href="#MJXG-TEX-N-31"></use><use data-c="36" xlink:href="#MJXG-TEX-N-36" transform="translate(500,0)"></use></g><g data-mml-node="mi" transform="translate(1000,0)"><use data-c="F7" xlink:href="#MJXG-TEX-I-F7"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(1778,0)"><use data-c="38" xlink:href="#MJXG-TEX-N-38"></use></g><g data-mml-node="mo" transform="translate(2555.8,0)"><use data-c="3D" xlink:href="#MJXG-TEX-N-3D"></use></g><g data-mml-node="mn" transform="translate(3611.6,0)"><use data-c="32" xlink:href="#MJXG-TEX-N-32"></use></g></g></g></svg></span>. - والزاوية المحصورة متساوية في المثلثين.

إذن المثلثان متشابهان، حتى دون معرفة طول الضلع الثالث.

الخلاصة

يمكن إثبات تشابه مثلثين بإحدى الطرق الثلاث التالية:

- تساوي زاويتين متناظرتين (AA). - تناسب الأضلاع الثلاثة المتناظرة (SSS). - تناسب ضلعين متناظرين مع تساوي الزاوية المحصورة بينهما (SAS).

ويكفي تحقق إحدى هذه الحالات لإثبات أن المثلثين متشابهان.