تشابه المثلثات

اختبر فهمك

اختبار: تشابه المثلثات

1
كم حالة يوجد لإثبات تشابه المثلثات؟

أسئلة متوقعة

تمارين محلولة: تشابه المثلثات

ثلاث مسائل شاملة لفهم حالات تشابه المثلثات الثلاث

1

التشابه بتساوي الزوايا (AA)

السؤال:

مثلث ABC فيه: الزاوية A = 70° والزاوية B = 50°
مثلث DEF فيه: الزاوية D = 70° والزاوية F = 60°
هل المثلثان متشابهان؟ وضح السبب.

رسم المثلثين

A B C 70° 50° ? D E F 70° 60° ? متشابهان ؟

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• مثلث ABC: الزاوية A = 70°، الزاوية B = 50°
• مثلث DEF: الزاوية D = 70°، الزاوية F = 60°
• المطلوب: هل المثلثان متشابهان؟

الخطوة 2: حساب الزوايا المتبقية

مجموع زوايا المثلث = 180°
في مثلث ABC:
∠C = 180° - 70° - 50° = 60°
في مثلث DEF:
∠E = 180° - 70° - 60° = 50°

الخطوة 3: المقارنة والاستنتاج

زوايا المثلث ABC:
70°, 50°, 60°
زوايا المثلث DEF:
70°, 50°, 60°
جميع الزوايا متساوية ✓

الإجابة النهائية: نعم، المثلثان متشابهان بحالة AA

المثلثان بعد التحليل

A B C 70° 50° 60° ~ D E F 70° 50° 60°
2

التشابه بتساوي نسب الأضلاع (SSS)

السؤال:

مثلث أضلاعه: 9 سم، 12 سم، 15 سم
مثلث آخر أضلاعه: 6 سم، 8 سم، 10 سم
هل المثلثان متشابهان؟ أثبت ذلك.

رسم المثلثين

15 سم 12 سم 9 سم مثلث 1 10 سم 8 سم 6 سم مثلث 2 هل النسب متساوية؟

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• المثلث الأول: 9 سم، 12 سم، 15 سم
• المثلث الثاني: 6 سم، 8 سم، 10 سم
• المطلوب: إثبات التشابه أو عدمه

الخطوة 2: حساب نسب الأضلاع المتناظرة

النسبة = ضلع المثلث الأول ÷ الضلع المناظر من المثلث الثاني
النسبة الأولى: 9 ÷ 6 = 1.5
النسبة الثانية: 12 ÷ 8 = 1.5
النسبة الثالثة: 15 ÷ 10 = 1.5

الخطوة 3: التحقق من تساوي النسب

1.5 = 1.5 = 1.5
جميع النسب متساوية ✓
إذن المثلثان متشابهان بحالة SSS

الإجابة النهائية: نعم، المثلثان متشابهان بمعامل تشابه 1.5 (أو 3:2)

النسب المتساوية

النسبة الأولى 9 ÷ 6 = 1.5 ✓ النسبة الثانية 12 ÷ 8 = 1.5 ✓ النسبة الثالثة 15 ÷ 10 = 1.5 ✓ المثلثان متشابهان بحالة SSS
3

التشابه بضلعين وزاوية محصورة (SAS)

السؤال:

مثلث ABC فيه: AB = 10 سم، AC = 8 سم، والزاوية A = 60°
مثلث DEF فيه: DE = 15 سم، DF = 12 سم، والزاوية D = 60°
هل المثلثان متشابهان؟ أثبت إجابتك.

رسم المثلثين

A B C 10 سم 8 سم 60° مثلث ABC ؟ D E F 15 سم 12 سم 60° مثلث DEF

الحل:

الخطوة 1: تحديد المعطيات

• مثلث ABC: AB = 10 سم، AC = 8 سم، ∠A = 60°
• مثلث DEF: DE = 15 سم، DF = 12 سم، ∠D = 60°
• المطلوب: إثبات التشابه بحالة SAS

الخطوة 2: حساب نسب الأضلاع المحاذية للزاوية

نسبة الضلع الأول: AB / DE = 10 / 15 = 2/3
نسبة الضلع الثاني: AC / DF = 8 / 12 = 2/3
النسبتان متساويتان ✓

الخطوة 3: التحقق من الزاوية المحصورة

الزاوية A = الزاوية D = 60°
الزاوية المحصورة بين الضلعين متساوية ✓
شرط SAS متحقق:
نسبة ضلعين متساوية (2/3) + الزاوية بينهما متساوية (60°)

الإجابة النهائية: نعم، المثلثان متشابهان بحالة SAS بمعامل تشابه 2:3

التحقق من شروط SAS

نسبة الضلع الأول 10 / 15 = 2/3 ✓ نسبة صحيحة الزاوية المحصورة 60° = 60° ✓ متساوية نسبة الضلع الثاني 8 / 12 = 2/3 ✓ نسبة صحيحة المثلثان متشابهان بحالة SAS ✓

ملخص حالات التشابه المستخدمة

حالة AA

تساوي زاويتين

المسألة 1

حالة SSS

تساوي نسب الأضلاع

المسألة 2

حالة SAS

ضلعان وزاوية محصورة

المسألة 3

نصائح مهمة عند حل مسائل التشابه

• احسب الزوايا المتبقية دائماً (المجموع = 180°)
• تأكد من مناظرة الأضلاع قبل حساب النسب
• في حالة SSS يجب أن تكون النسب الثلاث متساوية
• في حالة SAS الزاوية يجب أن تكون محصورة بين الضلعين
• حالة AA كافية لإثبات التشابه (لا حاجة للأضلاع)
• معامل التشابه هو نسبة أي ضلعين متناظرين

الشرح

تشابه المثلثات

الموضوع: حالات تشابه المثلثات

المفاهيم: تساوي الزوايا، نسب الأضلاع، الزاوية المحصورة

الهدف: فهم الحالات الثلاث التي تثبت تشابه مثلثين وكيفية تطبيقها

مثلثان متشابهان إذا كانت زواياهما متساوية
ونسب أضلاعهما المتناظرة متساوية

المثلث هو حالة خاصة من المضلعات، وهو أبسط شكل للمضلعات.

سنتعرف على ثلاث حالات تكفي لإثبات تشابه مثلثين:

  • الحالة الأولى: تساوي زاويتين
  • الحالة الثانية: تساوي نسب الأضلاع الثلاثة
  • الحالة الثالثة: تساوي نسبة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما

1 الحالة الأولى: تساوي زاويتين (AA)

إذا تساوت زاويتان في المثلث الأول مع نظيرتيهما في المثلث الثاني
فإن المثلثين متشابهان
رسم توضيحي: تساوي زاويتين
A B C 60° 50° D E F 60° 50° △ABC ~ △DEF
التفسير:
• إذا كانت الزاوية A = الزاوية D = 60°
• والزاوية B = الزاوية E = 50°
• فإن الزاوية C = الزاوية F = 70° (تلقائياً)
• لأن مجموع زوايا أي مثلث = 180°
• إذن المثلثان ABC و DEF متشابهان
النتيجة: تساوي زاويتين يكفي لإثبات تشابه المثلثين (الزاوية الثالثة تتساوى تلقائياً)

2 الحالة الثانية: تساوي نسب الأضلاع الثلاثة (SSS)

إذا كانت نسب الأضلاع المتناظرة في المثلثين متساوية
فإن المثلثين متشابهان
رسم توضيحي: تساوي نسب الأضلاع
150 120 90 مثلث 1 75 60 45 مثلث 2 حساب النسب: 150/75 = 2 120/60 = 2 90/45 = 2 جميع النسب متساوية = 2 ✓
القاعدة:
النسبة = ضلع من المثلث الأول ÷ الضلع المناظر من المثلث الثاني
إذا كانت جميع النسب متساوية → المثلثان متشابهان
النتيجة: تساوي نسب الأضلاع الثلاثة يعني تساوي الزوايا وتشابه المثلثين

3 الحالة الثالثة: تساوي نسبة ضلعين والزاوية المحصورة (SAS)

إذا كانت نسبة ضلعين متساوية والزاوية المحصورة بينهما متساوية
فإن المثلثين متشابهان
رسم توضيحي: ضلعين وزاوية محصورة
8 3 45° مثلث 1 16 6 45° مثلث 2 التحقق: نسبة الضلع الأول: 8/16 = 1/2 نسبة الضلع الثاني: 3/6 = 1/2 الزاوية المحصورة: 45° = 45° المثلثان متشابهان ✓
الشرط:
• نسبة الضلعين متساوية (8/16 = 3/6 = 1/2)
• الزاوية المحصورة بينهما متساوية (45° = 45°)
• لا حاجة لمعرفة طول الضلع الثالث!
• هذا يكفي لإثبات تشابه المثلثين
النتيجة: تساوي نسبة ضلعين والزاوية بينهما يكفي لإثبات التشابه (بغض النظر عن الضلع الثالث)

ملخص حالات التشابه

الحالة الأولى

∠∠
تساوي زاويتين
(AA Similarity)
الزاوية الثالثة تتساوى تلقائياً

الحالة الثانية

|||
تساوي نسب الأضلاع
(SSS Similarity)
نسب الأضلاع الثلاثة متساوية

الحالة الثالثة

|∠|
ضلعان وزاوية محصورة
(SAS Similarity)
نسبة ضلعين والزاوية بينهما

أمثلة تطبيقية

مثال 1: تشابه بالزوايا

المعطى: مثلث ABC فيه:
∠A = 70°, ∠B = 60°
مثلث DEF فيه:
∠D = 70°, ∠E = 60°
✓ المثلثان متشابهان
(حالة AA)

مثال 2: تشابه بالأضلاع

المعطى: مثلث أضلاعه:
6, 8, 10
مثلث آخر أضلاعه:
3, 4, 5
النسب: 6/3 = 8/4 = 10/5 = 2
✓ المثلثان متشابهان
(حالة SSS)

تذكر دائماً

لإثبات تشابه مثلثين يكفي إحدى الحالات الثلاث:
1. تساوي زاويتين (AA)
2. تساوي نسب الأضلاع الثلاثة (SSS)
3. تساوي نسبة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما (SAS)

أهداف الدرس

شرح تشابه المثلثات

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
0
الدرس التالي
أول ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...