تشابه المثلثات
تشابه المثلثات
الهندسة — حالات التشابه الثلاث
الهدف: فهم الحالات الثلاث التي تثبت تشابه مثلثين وكيفية تطبيقها.
الحالة الأولى: تساوي زاويتين (AA)
— إذا تساوت زاويتان في مثلثين، فإنهما متشابهان.
— الزاوية الثالثة تتساوى تلقائياً لأن مجموع زوايا المثلث = 180°.
— مثال: ∠A = 60°، ∠B = 50° → ∠C = 70°. ∠D = 60°، ∠E = 50° → ∠F = 70°. المثلثان متشابهان.
تساوي زاويتين يكفي — الثالثة تتساوى تلقائياً
الحالة الثانية: تساوي نسب الأضلاع (SSS)
— إذا كانت نسب الأضلاع المتناظرة الثلاثة متساوية، فالمثلثان متشابهان.
— نسبة التشابه k = ضلع من الأول ÷ الضلع المناظر من الثاني.
— مثال: أضلاع 150, 120, 90 مقابل 75, 60, 45 → k = 2 ✓
النسب الثلاثة متساوية → المثلثان متشابهان
الحالة الثالثة: ضلعان وزاوية محصورة (SAS)
— إذا تساوت نسبة ضلعين والزاوية المحصورة بينهما، فالمثلثان متشابهان.
— لا حاجة لمعرفة الضلع الثالث.
— مثال: AB/DE = 8/16 = 1/2 , AC/DF = 3/6 = 1/2 , ∠A = ∠D = 45° ✓
نسبة ضلعين + الزاوية المحصورة = تشابه
أمثلة تطبيقية
مثال ١ — AA
— مثلث ABC: ∠A = 70°، ∠B = 60°. مثلث DEF: ∠D = 70°، ∠E = 60°.
— ∠A = ∠D وَ ∠B = ∠E → المثلثان متشابهان (AA).
△ABC ~ △DEF (حالة AA)
مثال ٢ — SSS
— مثلث أضلاعه 6, 8, 10. مثلث آخر 3, 4, 5.
k = 2 — المثلثان متشابهان (حالة SSS)
ملخص الحالات الثلاث
الخلاصة
— لإثبات تشابه مثلثين يكفي إحدى الحالات الثلاث: AA أو SSS أو SAS.
— AA: تساوي زاويتين فقط — الثالثة تتساوى تلقائياً (180° − الزاويتين).
— SSS: نسبة الأضلاع الثلاثة = k.
— SAS: نسبة ضلعين متساوية + الزاوية المحصورة بينهما متساوية.
تمارين محلولة — تشابه المثلثات
ثلاث مسائل شاملة للحالات AA وSSS وSAS
الحالات:
مسألة ١ — التشابه بتساوي الزوايا (AA)
السؤال
— مثلث ABC: ∠A = 70°، ∠B = 50°. مثلث DEF: ∠D = 70°، ∠F = 60°. هل المثلثان متشابهان؟
— نحسب الزوايا المتبقية (مجموع الزوايا = 180°):
— زوايا ABC = {70°, 50°, 60°} | زوايا DEF = {70°, 50°, 60°} — جميعها متساوية.
△ABC ~ △DEF (حالة AA)
مسألة ٢ — التشابه بنسب الأضلاع (SSS)
السؤال
— مثلث أضلاعه 9، 12، 15. مثلث آخر أضلاعه 6، 8، 10. هل المثلثان متشابهان؟
— نحسب نسب الأضلاع المتناظرة:
— جميع النسب متساوية = 1.5 → معامل التشابه k = 1.5 (أي 3:2).
المثلثان متشابهان (حالة SSS) | k = 1.5
مسألة ٣ — التشابه بضلعين وزاوية (SAS)
السؤال
— مثلث ABC: AB = 10، AC = 8، ∠A = 60°. مثلث DEF: DE = 15، DF = 12، ∠D = 60°. هل المثلثان متشابهان؟
— نتحقق من نسبة الضلعين المحاذيين للزاوية:
— النسبتان متساويتان = 2/3 ✓ | الزاوية المحصورة: ∠A = ∠D = 60° ✓
شرط SAS متحقق
— نسبة ضلعين متساوية (2/3) + الزاوية المحصورة بينهما متساوية (60°).
△ABC ~ △DEF (حالة SAS) | k = 2/3
ملخص الحالات
نصائح مهمة
— في حالة AA: احسب الزوايا المتبقية (180° − الزاويتين) قبل المقارنة.
— في حالة SSS: رتّب الأضلاع من الأصغر للأكبر قبل حساب النسب لضمان المناظرة الصحيحة.
— في حالة SAS: الزاوية يجب أن تكون محصورة بين الضلعين — وليس أي زاوية.
— معامل التشابه = نسبة أي ضلعين متناظرين = ضلع من T1 ÷ الضلع المناظر من T2.
اختبار: تشابه المثلثات
1 / 10(0:00) في هذا الدرس، رح نتكلم عن تشابه مثلثين (0:03) و احنا ذكرنا ان المثلث حالة خاصة من المضلعات (0:07) او أبسط شكل للمضلعات (0:09) فرح نذكر عدة حالات، اذا تحققت رح نقول عن المثلثين انهم متشابهين (0:14) الحالة الأولى، ان تكون في زاويتين في المثلث الاول تساوي نضيراتها في المثلث الثاني (0:21) فهذا يكفي ان نقول عن المثلثين انهم متشابهين (0:24) ومن البديه إذا في زاويتين في المثلث الأول تساوي نظيراتها في المثلث الثاني (0:29) فالزاوية الثالثة المتبقية في المثلث الأول أكيد راح تساوي الزاوية المتبقية في المثلث الثاني (0:35) لأن بالأخير مجموع زوايا أي مثلث 180 درجة (0:39) طيب ننتقل إلى الحالة الثانية (0:41) إذا كانت النسبة بين الأضلع في المثلث الأول ونظيرها في المثلث الثاني متساوية (0:46) يعني كل ما أخذنا طول ظلع في المثلث الأول وقسمناه على نظيرة في المثلث الثاني (0:52) راح تطلع معانا نفس النسبة (0:53) فهذا يعني أن الزوايا أيضا متساوية ويعني أن المثلثين متشابهين (0:58) طيب ننتقل إلى الحالة الثالثة (1:00) اللي هي التشابه بظلعين وزاوية محصورة بينهم (1:04) يعني إذا كان في ظلعين في المثلث الأول (1:06) والنسبة بينهم وبين نظيرهم في المثلث الثاني نفسها (1:11) وأيضا الزاوية المحصورة بينهم تساوي الزاوية المحصورة في المثلث الثاني (1:15) فمعناتها أن المثلثين متشابهين (1:17) يعني لو عندنا مثلث طول الظلع هنا ثلاثة وهنا ثمانية (1:21) والزاوية بينهم ٤٥ (1:23) وعندنا مثلث ثاني طول الظلع هنا ٦ (1:25) وتحت هنا ١٦ والزاوية بينهم نفسها ٤٥ (1:29) فهذا يكفي أن نقول عن المثلثين هذول أنهم متشابهين (1:33) بغض النظر عن طول الظلع الثالث (1:35) ليش؟ لأن النسبة ما بين الظلع هذا ونظيرة (1:38) نفس النسبة ما بين الظلع هذا ونظيرة اللي هي تساوي اثنين (1:41) والزاوية نفسها متطابقة (1:43) فهذه حالة تشابه ظلعين وزاوية محصورة بينهم
عن هذا الدرس
الحالات الثلاث التي تثبت تشابه مثلثين: تساوي زاويتين (AA)، تناسب الأضلاع الثلاثة (SSS)، وضلعان متناسبان وزاوية محصورة (SAS)، مع معنى المثلثات المتشابهة… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.