تشابه المضلعات
رياضيات — الهندسة
الهدف: فهم شروط تشابه المضلعات وعلاقته بالتطابق.
شروط تشابه المضلعات
— شرط ١: الزوايا المتناظرة متساوية في كلا المضلعين.
— شرط ٢: الأضلاع المتناظرة متناسبة — نسبتها ثابتة تُسمى نسبة التشابه k.
التطابق — حالة خاصة
— إذا كانت نسبة التشابه k = 1 فالمضلعان متطابقان.
— كل المضلعات المتطابقة متشابهة، لكن ليس العكس دائماً.
استكشاف تفاعلي
— حرّك الأضلاع والنسبة — عند k=1 يتحول المضلعان إلى متطابقَين:
تشابه vs تطابق
الخلاصة
— التشابه: زوايا متساوية + أضلاع متناسبة بنسبة k.
— التطابق: حالة خاصة من التشابه حيث k = 1.
— نسبة التشابه k: تساوي طول ضلع في الجديد مقسوماً على نظيره في الأصلي.
— جميع المضلعات المنتظمة من نفس النوع متشابهة دائماً (مثل: جميع المربعات متشابهة).
ما هي المضلعات؟
المضلعات هي أشكال هندسية تتكون من ثلاثة أضلاع أو أكثر.
وأبسط المضلعات هو المثلث، لأنه يتكون من ثلاثة أضلاع، ولذلك يُعد حالة خاصة من المضلعات.
بعد ذلك تأتي الأشكال ذات الأربعة أضلاع، ثم الخمسة، ثم الستة، وهكذا. ولو تخيلنا شكلاً له عدد لا نهائي من الأضلاع، فإنه يقترب من شكل الدائرة.
متى يكون مضلعان متشابهين؟
لكي نقول إن مضلعين متشابهان، فلا بد من تحقق شرطين أساسيين.
الشرط الأول أن تكون جميع الأضلاع المتناظرة بينها نفس النسبة.
فإذا كانت الأضلاع متساوية تماماً، فإن نسبة التشابه تساوي 1، وإذا كانت أضلاع أحد المضلعين ضعف الآخر، فإن نسبة التشابه تساوي 2. والمهم أن تبقى النسبة نفسها بين جميع الأضلاع المتناظرة.
تساوي الزوايا المتناظرة
الشرط الثاني هو أن تكون جميع الزوايا المتناظرة متساوية.
أي أن كل زاوية في المضلع الأول تساوي الزاوية المناظرة لها في المضلع الثاني.
وعند تحقق هذين الشرطين معاً، نقول إن المضلعين متشابهان.
مثال على مضلعين متشابهين
لو كان لدينا مربع طول ضلعه 4، ومربع آخر طول ضلعه 8، فإن جميع أضلاع المربع الثاني تساوي ضعف أضلاع المربع الأول، أي أن نسبة التشابه تساوي 2.
كما أن جميع زوايا المربعين تساوي 90 درجة، ولذلك يكون المربعان متشابهين.
مثال آخر
إذا كان لدينا شبه منحرف أطوال أضلاعه:
10، 8، 18، 8
وشبه منحرف آخر أطوال أضلاعه:
5، 4، 9، 4
وكانت الزوايا في الشكلين متساوية، مثل:
70°، 110°، 70°، 110°
فنلاحظ أن جميع الأضلاع المتناظرة لها نسبة ثابتة تساوي 2، وجميع الزوايا المتناظرة متساوية، لذلك يكون الشكلان متشابهين.
الحالة الخاصة: تشابه المثلثات
المثلث يُعد حالة خاصة من المضلعات، لذلك لا يشترط تحقق الشرطين معاً.
يكفي تحقق أحد الشرطين فقط حتى يكون المثلثان متشابهين.
إما أن تكون الزوايا المتناظرة متساوية، أو تكون الأضلاع المتناظرة لها نفس النسبة.
تشابه المثلثات عند تساوي الزوايا
إذا كان لدينا مثلث زواياه:
30°، 60°، 90°
فأي مثلث آخر يمتلك الزوايا نفسها، مهما اختلفت أطوال أضلاعه، فإنه يكون مشابهاً له، لأن أطوال الأضلاع ستكون دائماً متناسبة.
تشابه المثلثات عند تناسب الأضلاع
وبالعكس، إذا كانت الأضلاع المتناظرة في مثلثين لها نفس النسبة، فإن ذلك يعني أن الزوايا المتناظرة ستكون متساوية أيضاً، وبالتالي يكون المثلثان متشابهين.
الخلاصة
لكي يكون مضلعان متشابهين، يجب أن تتحقق الشروط التالية:
- أن تكون جميع الأضلاع المتناظرة بينها نفس النسبة. - أن تكون جميع الزوايا المتناظرة متساوية.
أما في المثلثات، فهي حالة خاصة، ويكفي تحقق أحد الشرطين فقط، سواء تساوي الزوايا أو تناسب الأضلاع، لإثبات التشابه.
عن هذا الدرس
ما هي المضلعات؟ المضلعات هي أشكال هندسية تتكون من ثلاثة أضلاع أو أكثر. وأبسط المضلعات هو المثلث، لأنه يتكون من ثلاثة أضلاع، ولذلك يُعد حالة خاصة من… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
