المماسات في الدائرة

المماسات للدائرة

الهندسة التحليلية — Tangent Lines to Circles

الهدف: فهم تعريف المماس وخصائصه وتطبيق نظرياته في إيجاد معادلات المماسات وأطوالها.

التعريف

خط يلامس الدائرة في نقطة واحدة

النظرية

المماس ⊥ نصف القطر

الطول

√(d² − r²) من نقطة خارجية

١

تعريف المماس

— المماس: مستقيم يتقاطع مع الدائرة في نقطة واحدة بالضبط تُسمى نقطة التماس.

— المماس عمودي على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التماس.

زاوية المماس 0°

L \perp OP

المماس عمودي على نصف القطر

عدد المماسات من نقطة

— داخل الدائرة: لا يوجد مماس. على الدائرة: مماس واحد. خارج الدائرة: مماسان بالضبط.

٢

المماسات المشتركة لدائرتين

— عدد المماسات المشتركة يعتمد على موضع الدائرتين بالنسبة لبعضهما.

٤ مماسات — منفصلتان

٣ مماسات — متماستان خارجياً

٢ مماس — متقاطعتان

١ مماس — متماستان داخلياً

٠ مماس — إحداهما داخل الأخرى

القاعدة

— إذا كان $d$ المسافة بين المركزين: منفصلتان إذا $d > r_1+r_2$ ، متماستان خارجياً إذا $d = r_1+r_2$ ، متقاطعتان إذا $|r_1-r_2| < d < r_1+r_2$ ، متماستان داخلياً إذا $d = |r_1-r_2|$ .

٣

مثال ١ — معادلة المماس عند نقطة

— المطلوب: معادلة المماس للدائرة $x^2+y^2=25$ عند النقطة $(3,4)$ .

— ميل نصف القطر $OP$ :

m_{OP} = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}

— ميل المماس (عمودي على $OP$ ):

m = -\frac{3}{4}

— معادلة المماس:

y - 4 = -\frac{3}{4}(x-3) \implies 3x + 4y = 25

الصيغة المباشرة

— للدائرة $x^2+y^2=r^2$ عند $(x_1,y_1)$ : معادلة المماس هي $xx_1+yy_1=r^2$ .

3x + 4y = 25

٤

مثال ٢ — طول المماس من نقطة خارجية

— المطلوب: طول المماس من النقطة $(13,0)$ إلى الدائرة $x^2+y^2=25$ .

— المسافة من النقطة إلى المركز:

d = \sqrt{13^2+0^2} = 13, \quad r = 5

— بنظرية فيثاغورس في المثلث القائم $OTP$ :

PT = \sqrt{d^2-r^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12

طول المماس = 12

٥

مثال ٣ — عدد المماسات المشتركة

— المطلوب: عدد المماسات المشتركة للدائرتين: مركز $(0,0)$ ونصف قطر $3$ ، ومركز $(8,0)$ ونصف قطر $2$ .

d = \sqrt{8^2+0^2} = 8, \quad r_1+r_2 = 5

— بما أن $d = 8 > r_1+r_2 = 5$ : الدائرتان منفصلتان تماماً.

عدد المماسات المشتركة = 4

٦

مثال ٤ — مماس موازٍ لمستقيم

— المطلوب: مماس الدائرة $(x-2)^2+(y-3)^2=4$ الموازي للمستقيم $3x+4y=0$ .

— المركز $(2,3)$ ، $r=2$ . المماس الموازي له صورة $3x+4y=k$ .

— شرط المماسة: المسافة من المركز = نصف القطر:

\frac{|3(2)+4(3)-k|}{\sqrt{9+16}} = 2 \implies \frac{|18-k|}{5} = 2

|18-k| = 10 \implies k = 8 \quad \text{or} \quad k = 28

أي k = 8 أو k = 28

3x + 4y = 8 | 3x + 4y = 28

٧

مثال ٥ — تطبيق عملي

— برج دائري نصف قطره 50 متراً، شخص يقف على بعد 130 متراً من المركز. ما أقصر مسافة للوصول إلى البرج؟

— أقصر مسافة = طول المماس:

\sqrt{130^2 - 50^2} = \sqrt{14400} = 120

أقصر مسافة = 120 متر

ملخص القواعد

القاعدة	الصيغة
العمودية	المماس ⊥ نصف القطر
طول المماس	PT = √(d² − r²)
معادلة المماس عند (x₁,y₁)	xx₁ + yy₁ = r²
شرط المماسة (مستقيم لدائرة)	المسافة من المركز = r

الخلاصة

— المماس: مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة، عمودي على نصف القطر عندها.

— طول المماس من نقطة خارجية: $\sqrt{d^2-r^2}$ حيث $d$ المسافة من النقطة إلى المركز.

— معادلة المماس للدائرة $x^2+y^2=r^2$ عند $(x_1,y_1)$ : هي $xx_1+yy_1=r^2$ .

— المماسات المشتركة: عددها ٤ أو ٣ أو ٢ أو ١ أو صفر حسب موضع الدائرتين.

أول ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

مقدمة الدرس في هذا الدرس راح نتكلم عن المماسات. المماس هو مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط، وتسمى هذه النقطة نقطة التماس. خصائص المماس بناءً على… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

التقاء المماسات والقواطع خارج الدائرة

الثانوية

الدائرة

الثانوية

التقاء وترين أو قاطعين داخل الدائرة

الثانوية

3 نظريات للقطع مستقيمة خاصة بالدائرة

الثانوية

معادلة الدائرة

الثانوية

شرح المماسات في الدائرة – الثانوية أول ثانوي | أكاديمية موسى