تقاطع الأوتار والقواطع داخل الدائرة
الهندسة — زوايا الدائرة
الهدف: فهم نظرية الزاوية المتكونة من تقاطع وترين أو قاطعين داخل الدائرة وتطبيقها في حل المسائل.
مراجعة: المماس والوتر والقاطع
— المماس: خط يلتقي مع الدائرة في نقطة واحدة فقط.
— الوتر: قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على المحيط، لا تمتد خارجه.
— القاطع: مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين، ويمتد خارجها.
الفرق الأساسي
— الوتر قطعة محدودة الطرفين على المحيط. القاطع هو امتداد الوتر نفسه ليتجاوز الدائرة من الجهتين.
النظرية — تقاطع داخل الدائرة
— إذا تقاطع وتران داخل الدائرة، فإن قياس زاوية التقاطع يساوي نصف مجموع القوسين المتقابلين.
لاحظ
— الزاويتان المتقابلتان عند نقطة التقاطع متساويتان دائمًا. القوسان المستخدمان هما القوسان المتقابلان لا المتجاوران.
مثال ١ — إيجاد الزاوية
— المعطيات: وتران يتقاطعان داخل الدائرة. القوس AC = 80°، القوس BD = 120°.
— المطلوب: قياس زاوية التقاطع.
الزاوية = 100°
مثال ٢ — حل عكسي
— المعطيات: الزاوية = 65°، القوس AC = 50°.
— المطلوب: القوس BD.
القوس BD = 80°
تطبيق — الساعة الدائرية
— العقربان يتقاطعان في المركز (داخل الدائرة). حرّك السلايدرين لرؤية الزاوية بينهما.
تمارين
تمرين ١
— وتران PQ وRS يتقاطعان في T. القوس PR = 70°، القوس QS = 110°. أوجد الزاوية PTR.
تمرين ٢
— قاطعان يتقاطعان داخل دائرة بزاوية = 85°. أحد القوسين المتقابلين = 60°. أوجد القوس الآخر.
ملخص النظريات
الخلاصة
— النظرية: الزاوية المتكونة داخل الدائرة = نصف مجموع القوسين المتقابلين.
— الفرق عن الخارجي: الداخلي يجمع، الخارجي يطرح.
— الزاويتان المتقابلتان: متساويتان دائمًا عند نقطة التقاطع.
— حالة خاصة: إذا كان مجموع القوسين = 180° فالزاوية قائمة.
مراجعة سريعة
تعلمنا في الدروس السابقة معنى المماس، وقلنا إنه مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط، وتسمى هذه النقطة نقطة التماس.
كما تعرفنا على الوتر، وهو قطعة مستقيمة تصل بين نقطتين على محيط الدائرة.
القاطع
القاطع هو مستقيم يقطع الدائرة في نقطتين.
ويمكن اعتباره امتدادًا للوتر، لأن الوتر قطعة مستقيمة محدودة، أما إذا امتدت من الجهتين فإنها تسمى قاطعًا.
لذلك فإن كثيرًا من القواعد المتعلقة بالوتر تنطبق أيضًا على القاطع.
نظرية تقاطع وترين أو قاطعين داخل الدائرة
إذا تقاطع وتران داخل الدائرة، أو امتدا فأصبحا قاطعين وتقاطعا داخلها، فإن الزوايا المتقابلة تكون متساوية لأنها زوايا متقابلة بالرأس.
ولإيجاد قياس إحدى الزوايا، نستخدم القاعدة التالية:
قياس الزاوية يساوي مجموع قياسي القوسين المقابلين لها، ثم نقسم الناتج على 2.
قانون قياس الزاوية
قياس الزاوية = (مجموع القوسين المقابلين) ÷ 2
وبالمثل، فإن قياس الزاوية المقابلة لها يساوي مجموع القوسين المقابلين لها مقسومًا على 2.
ملاحظة مهمة
القاعدة ببساطة هي:
نجمع قياسي القوسين المقابلين للزاوية، ثم نقسم الناتج على 2.
وهذه النظرية تنطبق سواء كان الشكل يحتوي على وترين متقاطعين أو قاطعين متقاطعين داخل الدائرة.
عن هذا الدرس
مراجعة سريعة تعلمنا في الدروس السابقة معنى المماس، وقلنا إنه مستقيم يلامس الدائرة في نقطة واحدة فقط، وتسمى هذه النقطة نقطة التماس. كما تعرفنا على الوتر،… هذا الدرس ضمن الفصل الثاني لمنهج الثانوية أول ثانوي في أكاديمية موسى.
