تكملة الدوال الأساسية مع رسوم تفاعلية

في هذا الدرس نكمل درسنا السابق عن أهم الدوال الأساسية في الرياضيات وخصائصها المميزة، مع رسوم بيانية تفاعلية لفهم سلوك كل دالة بصرياً.

5. دالة المقلوب (Reciprocal Function)

$f(x) = \frac{1}{x}, \quad x \neq 0$

دالة المقلوب هي إحدى أهم الدوال في الرياضيات، وتتميز بوجود انقطاع عند النقطة x = 0 حيث تكون غير معرّفة.

المجال: جميع الأعداد الحقيقية عدا الصفر: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$

المدى: جميع الأعداد الحقيقية عدا الصفر: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$

الاتصال: متصلة على اليمين $(0, +\infty)$ وعلى اليسار $(-\infty, 0)$

نوع الدالة: دالة فردية (Odd Function) لأن $f(-x) = -f(x)$

الخطوط المقاربة: محور السينات (y = 0) ومحور الصادات (x = 0)

احسب قيمة الدالة عند النقاط التالية:

f(1) = \frac{1}{1} = 1

f(2) = \frac{1}{2} = 0.5

f(-1) = \frac{1}{-1} = -1

f(0.1) = \frac{1}{0.1} = 10

ملاحظة مهمة: كلما اقتربت قيمة x من الصفر، كلما ازدادت قيمة الدالة نحو اللانهاية (موجبة أو سالبة حسب الجهة)

$f(x) = |x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \geq 0 \\ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases}$

دالة القيمة المطلقة تلغي الإشارة السالبة من أي عدد، فتحول جميع القيم إلى قيم موجبة أو صفر.

معامل التمدد الرأسي (a):

القيمة: 1

الإزاحة الأفقية (h):

القيمة: 0

المجال: جميع الأعداد الحقيقية: $(-\infty, +\infty)$

المدى: الأعداد غير السالبة: $[0, +\infty)$

الاتصال: متصلة على جميع الأعداد الحقيقية

نوع الدالة: دالة زوجية (Even Function) لأن $f(-x) = f(x)$

نقطة خاصة: رأس الزاوية عند النقطة (0, 0)

احسب قيمة الدالة عند النقاط التالية:

f(3) = |3| = 3

f(-5) = |-5| = 5

f(0) = |0| = 0

f(-2.5) = |-2.5| = 2.5

ملاحظة: دالة القيمة المطلقة تشكل شكل حرف V، وهي متماثلة حول محور الصادات

$f(x) = \lfloor x \rfloor$

دالة أكبر عدد صحيح (تسمى أيضاً الدالة الدرجية أو Floor Function) تعطي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي x.

المجال: جميع الأعداد الحقيقية: $(-\infty, +\infty)$

المدى: جميع الأعداد الصحيحة: $\mathbb{Z}$

الاتصال: غير متصلة عند كل عدد صحيح

نوع الدالة: ليست زوجية ولا فردية

الشكل: خطوات أفقية (درجات) مع قفزات عند الأعداد الصحيحة

احسب قيمة الدالة عند النقاط التالية:

\lfloor 2.7 \rfloor = 2

\lfloor -1.3 \rfloor = -2

\lfloor 5 \rfloor = 5

\lfloor -0.5 \rfloor = -1

تذكر: للأعداد السالبة، نذهب للأسفل! مثلاً: أكبر صحيح أقل من أو يساوي -0.5 هو -1 وليس 0

الخاصية	دالة المقلوب	دالة القيمة المطلقة	دالة أكبر عدد صحيح
الصيغة	$f(x) = \frac{1}{x}$	$f(x) = \|x\|$	$f(x) = \lfloor x \rfloor$
المجال	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$
المدى	$\mathbb{R} \setminus \{0\}$	$[0, +\infty)$	$\mathbb{Z}$
الاتصال	متصلة عدا عند x=0	متصلة في كل مكان	غير متصلة عند الصحيحات
الزوجية/الفردية	فردية	زوجية	لا زوجية ولا فردية