ما هي الدالة: المتغير المستقل والتابع واختبار الخط الرأسي والمجال والمدى

في هذا الدرس نريد أن نعرف ما معنى الدالة، وإذا رأينا دالة فما هي النقاط المهمة فيها.

العلاقة بين المحورين

أولًا، عندما نرى منحنى مثل هذا نعرف أنه توجد علاقة بين المتغير الموجود على محور x والمتغير الموجود على محور y، وعادةً يكون اسم كل متغير مكتوبًا على محوره. فممكن أن يُكتب لك على محور x الوقت وعلى محور y السرعة، فنكون نقيس سرعة شيء أو جسم مع مرور الوقت.

فالنقطة الأولى: لما تشوف دالة، على طول تنظر في محور x ومحور y وتشوف إيش مكتوب عليهما، عشان تعرف العلاقة بين مين ومين.

المتغير المستقل والمتغير التابع

النقطة الثانية: المتغير على محور x نسميه المتغير المستقل. والمتغير المستقل اللي على محور x هو اللي نقدر نغيّره بشكل تدريجي: نذهب على محور x إلى اليمين فنزيد في x، أو إلى اليسار فننقص في x، وبعدين نقيس ردّة فعل المتغير التابع له على محور y. لذلك المتغير المستقل هو للمحور الأفقي x، أما المتغير التابع أو النتيجة فهو للمحور y.

فلو مثلًا نقيس سرعة سيارة أو جسم مع مرور الوقت، نمشي تدريجيًا مع الوقت ونرى السرعة ماذا يحدث لها. فهنا المتغير المستقل هو الوقت، والمتغير التابع هو النتيجة أو السرعة.

مثال ثانٍ: لو بدأنا نرفع درجة حرارة أحد الموائع ونتابع الضغط داخل هذا المائع. نبدأ نرفع درجة الحرارة تدريجيًا ونشوف الضغط ما يصير له. فارتفاع درجة الحرارة هو المتغير المستقل، والضغط سيكون النتيجة.

وأخيرًا مثال بسيط: لو نقيس وزن الإنسان مع مرور الوقت، نمشي على الوقت بشكل تدريجي وننظر إلى التغيرات التي تحدث على الوزن.

اختبار الخط الرأسي

وندخل إلى اختبار الخط الرأسي. لكي تكون هذه العلاقة دالة يجب أن تجتاز اختبار الخط الرأسي: نضع خطًا رأسيًا ونمرّ به على المنحنى من اليسار إلى اليمين، ويجب أن يتقاطع مرة واحدة فقط مع منحنى الدالة.

عمليًا ماذا يعني هذا الكلام؟ يعني لكل قيمة على x يعطيني قيمة واحدة فقط على y. يعني لما نسأل في مثالنا الأخير: كم كان وزن الشخص؟ نلقى قراءة واحدة فقط، ما نلقى قراءتين، لأنه غير منطقي أن نلقى قراءتين في تاريخ معيّن لوزن أي إنسان.

ونفس الفكرة في مثالنا الثاني لما كنا نرفع درجة حرارة المائع: لما نسأل عند درجة حرارة مئة مثلًا كم قراءة الضغط؟ يعطينا قراءة واحدة فقط، ولو أعطانا قراءتين فالموضوع غير منطقي. فهذا هو الهدف من اختبار الخط الرأسي، ودائمًا نقول: لكل قيمة على المجال يعطينا قيمة واحدة فقط على المدى.

المجال والمدى

وأخيرًا نتكلم عن المجال والمدى. المجال متعلق بالمتغير الأفقي المستقل، اللي هو محور x، والمدى متعلق بالمتغير التابع، اللي هو محور y.

فبالنسبة للمجال: هو كل القيم المحتملة للمتغير المستقل. فأحيانًا المتغير المستقل ما يحتمل أن نضع فيه صفرًا، وأحيانًا ما يحتمل أن نضع قيمًا سالبة. يعني لو الدالة واحد على x، ما ينفع نحط صفرًا في المقام، فنُخرج الصفر من المتغير المستقل. ولو مثلًا الدالة هي الجذر التربيعي لـ x، فما ينفع نحط أرقامًا سالبة تحت الجذر التربيعي في عالم الأعداد الحقيقية، فنُخرج الأرقام السالبة من المجال أو من المتغير المستقل.

فهذه الفكرة: أنك دائمًا تفكر إيش القيم المحتملة في المجال. وعندنا دوال كثيرة تقبل جميع الأعداد الحقيقية، مثل دوال كثيرات الحدود، فتقبل جميع القيم الموجبة والصفر وجميع القيم السالبة.

أما بالنسبة للمدى، فتشوف كل القيم المحتملة اللي تحطها في المجال إيش يقابلها في المدى، بحيث إنه ما يطلع لنا رقم أو نتيجة غير متوقعة أبدًا أو خارج المدى.