الدالة الزوجية والدوال الفردية

الدوال الزوجية والدوال الفردية

الموضوع: تعريف وخصائص الدوال الزوجية والفردية

المفاهيم: التماثل حول المستقيم، التماثل حول النقطة، تطبيقات التكامل

الهدف: فهم مفهوم الدوال الزوجية والفردية والتمييز بينهما

1 مقدمة: مفهوم التماثل

في عالم الدوال، كما أن الأعداد زوجية وفردية، فإن الدوال أيضاً زوجية وفردية

التماثل حول مستقيم

عندما نرسم مستقيماً عمودياً، ونجد أن الجزء الأيمن من الدالة يطابق تماماً الجزء الأيسر
لو طوينا المستوى على هذا المستقيم، سينطبق الجانبان تماماً

التماثل حول نقطة

عندما تكون هناك نقطة تماثل، وكل نقطة على المنحنى لها نظيرة متماثلة حولها
نرسم خطاً من النقطة إلى نقطة التماثل ونكمله بنفس المسافة للجهة المقابلة

2 الدوال الزوجية

الدالة الزوجية: لها تماثل حول مستقيم، والمستقيم هو محور y

أمثلة على الدوال الزوجية

دالة الكوساين:

\cos(x)

دالة القيمة المطلقة:

|x|

الدالة التربيعية:

x^2

خاصية الدالة الزوجية

لو طوينا المستوى على محور y، فإن الجانب الأيمن سينطبق تماماً مع الجانب الأيسر
كل نقطة على اليمين تعطي نفس القيمة للنقطة المقابلة على اليسار

التعريف الرياضي:

f(-x) = f(x)

3 الدوال الفردية

الدالة الفردية: لها تماثل حول نقطة، والنقطة هي نقطة الأصل (0,0)

أمثلة على الدوال الفردية

دالة التكعيب:

x^3

دالة الخط المستقيم:

y = x

دالة الساين:

\sin(x)

خاصية الدالة الفردية

كل نقطة على المنحنى يقابلها نقطة في الجهة المقابلة من نقطة الأصل
القيم يمين نقطة الأصل عكسها في اليسار: إذا كانت فوق هنا، تكون تحت هناك

التعريف الرياضي:

f(-x) = -f(x)

4 التعبيرات الرياضية

الدالة الزوجية رياضياً

f(-x) = f(x)

سواء أخذنا رقم على اليمين أو اليسار من محور التماثل، سنحصل على نفس المخرجات
مثال: f(2) = f(-2) ، f(4) = f(-4)

الدالة الفردية رياضياً

f(-x) = -f(x)

القيم يمين نقطة الأصل معكوسة في اليسار
مثال: إذا كانت f(2) = 8، فإن f(-2) = -8

5 فوائد معرفة نوع الدالة

معرفة نوع الدالة مفيد جداً في عالم التكامل

تكامل الدالة الزوجية

إذا حسبنا تكامل الدالة على جهة واحدة من محور التماثل
فيمكننا ضرب النتيجة في 2 للحصول على التكامل الكامل
لأن المنطقة تحت المنحنى متماثلة على الجانبين

تكامل الدالة الفردية

مثال: تكامل

x^3

على فترة متماثلة = 0

لأن المساحة على اليمين (موجبة فوق المحور) تلغي المساحة على اليسار (سالبة تحت المحور)
الجهة اليمين تكنسل الجهة اليسار والنتيجة = صفر

هذا مثال بسيط لفائدة معرفة نوع الدالة في التطبيقات الرياضية