الدوال النسبية — خطوط التقارب الرأسية والأفقية

١ الشكل العام للدالة النسبية

f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}

Q(x) \neq 0

البسط ÷ المقام — شرط أساسي: المقام لا يساوي صفر

البسطكثيرة الحدود في الأعلى

المقامكثيرة الحدود في الأسفل — لا يساوي صفر

السببإذا المقام = صفر فالدالة تذهب إلى ما لا نهاية

— إذا المقام = 1 تصير كثيرة حدود عادية.
— إذا البسط ثابت والمقام = 1 تصير دالة ثابتة.
— كلتاهما حالات خاصة من الدوال النسبية.

٢ لماذا ندرس الدوال النسبية بشكل خاص؟

كثيرات الحدودx دائماً في البسط — لا حالات خاصة

الدوال النسبيةx ممكن يكون في المقام — تنشأ حالات خاصة

— هذه الحالات تنتج ظاهرتين مهمتين:
— خطوط التقارب الرأسية: عمودية عند قيم x تجعل المقام = صفر.
— خطوط التقارب الأفقية: أفقية تعتمد على مقارنة درجتي البسط والمقام.

٣ خطوط التقارب الرأسية

إذا Q(a) = 0 فإن:

x = a

هو خط تقارب رأسي

عدد الخطوط الرأسية = عدد جذور المقام

مثال ١مقام = x ← خط رأسي واحد عند x = 0

مثال ٢مقام = (x+2)(x−3) ← خطان عند x = −2 و x = 3

f(x) = \frac{1}{x} \to x = 0

f(x) = \frac{1}{(x+2)(x-3)}

\to x = -2 \quad \text{و} \quad x = 3

— ممكن يكون عندنا أكثر من خطين رأسيين — بحسب عدد جذور المقام.

٤ التصور — منحنيات الدوال النسبية

المنحنى تقارب رأسي تقارب أفقي

٥ خطوط التقارب الأفقية — مقارنة الدرجات

— خطوط التقارب الأفقية إما واحدة أو لا يوجد — لا يمكن أن تكون اثنتين.

الحالة ١درجة المقام أعلى → خط y = 0

الحالة ٢الدرجتان متساويتان → خط y = aₙ / bₙ

الحالة ٣درجة البسط أعلى → لا يوجد خط تقارب أفقي

\deg(Q) > \deg(P)

\implies y = 0

مثال: f(x) = 1/x — درجة المقام 1، درجة البسط 0

\deg(P) = \deg(Q)

\implies y = \frac{a_n}{b_n}

مثال: f(x) = (2x²+1)/(3x²+x) → y = 2/3

\deg(P) > \deg(Q)

⟹ لا يوجد خط تقارب أفقي

٦ ملخص خطوط التقارب الأفقية

الحالة	الشرط	خط التقارب	مثال
١	درجة المقام أعلى	$y = 0$	$\dfrac{1}{x}$
٢	الدرجتان متساويتان	$y = \dfrac{a_n}{b_n}$	$\dfrac{2x^2}{3x^2} \Rightarrow y=\dfrac{2}{3}$
٣	درجة البسط أعلى	لا يوجد	$\dfrac{x^2}{x}$

٧ الخلاصة

— الدالة النسبية: بسط ÷ مقام، المقام لا يساوي صفر.
— كثيرات الحدود والثوابت: حالات خاصة من الدوال النسبية.
— التقارب الرأسي: يحدث عند كل قيمة x تجعل المقام = صفر، ويمكن أن يتكرر.
— التقارب الأفقي: يحدث مرة واحدة فقط أو لا يحدث — يعتمد على مقارنة الدرجات.
— درجة المقام أعلى: y = 0 — متساويتان: y = aₙ/bₙ — البسط أعلى: لا يوجد.

الدوال النسبية — خطوط التقارب الرأسية والأفقية

اختبر فهمك

الشرح

الدوال النسبية — خطوط التقارب