الاتصال و النهايات للدالة

الاتصال والنهايات للدوال الاتصال والنهايات للدوال

الاتصال والنهايات للدوال

في هذا الدرس سنتعمق أكثر في عالم الدوال ونتعلم الاتصال والنهايات للدالة، وهو المدخل الرئيسي للتفاضل والتكامل.

لماذا ندرس الاتصال؟

الارتباط بالتفاضل والتكامل:

لفهم هذا الدرس، يجب أن نتذكر دائماً:

التكامل: هو المساحة تحت المنحنى
التفاضل: هو معدل التغيير للدالة

لحساب التكامل (المساحة تحت المنحنى) أو التفاضل (معدل التغيير)، لازم الدالة تكون متصلة

تعريف الدالة المتصلة:

الدالة المتصلة هي الدالة التي نقدر نرسم منحناها من غير ما نرفع إيدنا

أنواع عدم الاتصال

عدم الاتصال اللانهائي

مثال: $f(x) = \frac{1}{x}$

الدالة تذهب إلى ما لا نهاية من جانب وسالب ما لا نهاية من الجانب الآخر

عند x = 0:
من اليسار: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$
من اليمين: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$

عدم الاتصال القابل للإزالة

مثل فجوة في قراءات درجة الحرارة عند النقطة 10، بينما باقي القراءات طبيعية عند 24

الخصائص:
$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x)$
لكن $f(c)$ غير معرفة أو مختلفة

يمكن إصلاحه بتعريف النقطة بالقيمة الصحيحة

عدم الاتصال القفزي

الدالة تنزل من جهة ثم تقفز فجأة وتكمل في الاتجاه الموجب من جهة أخرى

الخصائص:
$\lim_{x \to c^-} f(x) \neq \lim_{x \to c^+} f(x)$
النهايات من الجهتين مختلفة
ملاحظة مهمة: في جميع هذه الحالات الثلاث، لا يمكننا قياس المساحة تحت المنحنى أو يكون معدل التغيير غير معروف أو ما لا نهاية

عدم الاتصال اللانهائي

f(x) = 1/x - عدم اتصال لانهائي عند x = 0

عدم الاتصال القابل للإزالة

f(x) = (x-2)² + 1, f(2) = 3 - عدم اتصال قابل للإزالة عند x = 2

عدم الاتصال القفزي

f(x) = {x+1 if x<1, x+3 if x≥1} - عدم اتصال قفزي عند x = 1

مفهوم النهايات (Limits)

تعريف النهاية:

$$\lim_{x \to c} f(x) = L$$

يعني: قيمة الدالة عندما تقترب x من c مع الجهتين

النهايات من الجهتين:

النهاية من اليمين:
$$\lim_{x \to c^+} f(x)$$
(نضع علامة + فوق c للدلالة على الجهة اليمنى)
النهاية من اليسار:
$$\lim_{x \to c^-} f(x)$$
(نضع علامة - فوق c للدلالة على الجهة اليسرى)

شرط وجود النهاية:

$$\lim_{x \to c^-} f(x) = \lim_{x \to c^+} f(x) = L$$

إذا كانت النهايات من الجهتين متساوية، فالنهاية معرّفة

إذا كانت مختلفة، فالنهاية غير معرّفة

أمثلة على حساب النهايات

المثال الأول: دالة المقلوب

الدالة:
$f(x) = \frac{1}{x}$
النهاية عند x = 0:
$\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$
$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$
الاستنتاج:

النهايات من الجهتين مختلفة، لذلك النهاية غير معرّفة وهناك عدم اتصال لانهائي

المثال الثاني: دالة بفجوة

الدالة:
$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{إذا } x \neq 2 \\ \text{غير معرّفة} & \text{إذا } x = 2 \end{cases}$
النهاية عند x = 2:
$\lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$
$\lim_{x \to 2^+} x^2 = 4$
الاستنتاج:

النهايات من الجهتين متساوية = 4، لكن f(2) غير معرّفة. هذا عدم اتصال قابل للإزالة

المثال الثالث: دالة قفزية

الدالة:
$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{إذا } x < 1 \\ x + 3 & \text{إذا } x \geq 1 \end{cases}$
النهاية عند x = 1:
$\lim_{x \to 1^-} (x + 1) = 2$
$\lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4$
الاستنتاج:

النهايات من الجهتين مختلفة (2 ≠ 4)، لذلك النهاية غير معرّفة وهناك عدم اتصال قفزي

نظرية القيمة المتوسطة (Intermediate Value Theorem)

نص النظرية:

إذا كانت الدالة f متصلة على الفترة [a, b] حيث b > a، وكانت:

$$f(a) = y_1 \text{ و } f(b) = y_2$$

فإن الدالة ستمر حتماً بأي قيمة متوسطة بين y₁ و y₂

أمثلة على نظرية القيمة المتوسطة

المثال الأول:

إذا كانت f(a) = -5 (سالبة) و f(b) = 3 (موجبة)

فإن الدالة مرت حتماً بالصفر في مكان ما بين a و b

لأن الصفر قيمة متوسطة بين السالب والموجب

المثال الثاني:

إذا كانت f(a) = 2 و f(b) = 5

فإن الدالة مرت حتماً بالقيمة 3 في مكان ما بين a و b

لأن 3 قيمة متوسطة بين 2 و 5

الشرط الأساسي:

هذا صحيح فقط طالما أن الدالة متصلة على كامل الفترة

نظرية القيمة المتوسطة - مثال تفاعلي

الخط الأحمر يوضح كيف تمر الدالة المتصلة بجميع القيم بين f(a) و f(b)

الشروط الثلاثة للاتصال

لتكون الدالة متصلة عند النقطة c، يجب توفر:

الشرط الأول: f(c) معرّفة
$f(c) \in \mathbb{R}$
الشرط الثاني: النهاية موجودة
$\lim_{x \to c} f(x) \text{ موجودة}$
الشرط الثالث: النهاية تساوي قيمة الدالة
$\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$
إذا فشل أي شرط من هذه الشروط الثلاثة، تكون الدالة غير متصلة عند النقطة c

ملخص الاتصال والنهايات

  • الدالة المتصلة: يمكن رسمها من غير رفع اليد، وهي ضرورية للتفاضل والتكامل
  • عدم الاتصال اللانهائي: الدالة تذهب إلى ±∞، مثل f(x) = 1/x عند x = 0
  • عدم الاتصال القابل للإزالة: فجوة يمكن ملؤها، النهايات من الجهتين متساوية
  • عدم الاتصال القفزي: قفزة مفاجئة، النهايات من الجهتين مختلفة
  • النهاية: قيمة الدالة عند الاقتراب من نقطة معينة من الجهتين
  • نظرية القيمة المتوسطة: الدالة المتصلة تمر بجميع القيم المتوسطة في الفترة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
77
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...