الدالة الزوجية والفردية

الدوال الزوجية والفردية مع رسوم بيانية الدوال الزوجية والفردية مع رسوم بيانية

الدوال الزوجية والفردية مع رسوم بيانية

في هذا الدرس سنتعرف على الدوال الزوجية والفردية، وكما أن لدينا أعداد زوجية وأعداد فردية، ففي عالم الدوال لدينا دوال زوجية ودوال فردية.

مفهوم التماثل (Symmetry)

لفهم الدوال الزوجية والفردية، يجب أولاً أن نتعرف على مفهوم التماثل، والذي يمكن أن يكون حول مستقيم أو حول نقطة.

التماثل حول مستقيم

إذا كان بإمكاننا رسم مستقيم عمودي بحيث أن كل نقطة على جانب من المستقيم يقابلها نقطة مماثلة على الجانب الآخر، فإن الشكل له تماثل حول هذا المستقيم.

لو طوينا المستوى على هذا المستقيم، فإن الجانب الأيمن سينطبق تماماً على الجانب الأيسر.

التماثل حول نقطة

إذا كان لدينا نقطة تماثل، وكل نقطة في الشكل يقابلها نقطة أخرى على نفس المسافة من نقطة التماثل ولكن في الاتجاه المعاكس.

نرسم خط وهمي من النقطة إلى نقطة التماثل، ونكمله بنفس المسافة في الاتجاه المعاكس لنجد النقطة المقابلة.

رسم بياني يوضح أنواع التماثل

الدوال الزوجية (Even Functions)

تعريف الدالة الزوجية

الدالة الزوجية هي الدالة التي لها تماثل حول محور y (محور الصادات).

هذا يعني أن الجانب الأيمن من الدالة ينطبق تماماً على الجانب الأيسر عند الطي حول محور y.

التعريف الرياضي للدالة الزوجية:

$$f(-x) = f(x)$$

يعني أن قيمة الدالة عند أي رقم موجب تساوي قيمة الدالة عند نفس الرقم السالب.

أمثلة على الدوال الزوجية

الدوال الفردية (Odd Functions)

تعريف الدالة الفردية

الدالة الفردية هي الدالة التي لها تماثل حول نقطة الأصل (0,0).

كل نقطة على المنحنى يقابلها نقطة في الجهة المقابلة من نقطة الأصل على نفس المسافة.

التعريف الرياضي للدالة الفردية:

$$f(-x) = -f(x)$$

يعني أن قيمة الدالة عند أي رقم سالب تساوي سالب قيمة الدالة عند نفس الرقم الموجب.

أمثلة على الدوال الفردية

مقارنة بين الدوال الزوجية والفردية

الخاصية الدوال الزوجية الدوال الفردية
نوع التماثل تماثل حول محور y تماثل حول نقطة الأصل
التعريف الرياضي $f(-x) = f(x)$ $f(-x) = -f(x)$
أمثلة $x^2, \cos(x), |x|$ $x^3, \sin(x), x$
تكامل على فترة متماثلة $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$ $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$

أمثلة محلولة

مثال (1): التحقق من زوجية الدالة

المطلوب: تحقق من أن الدالة التالية زوجية

الدالة: $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$
الخطوة الأولى: حساب f(-x)
$f(-x) = 3(-x)^4 - 2(-x)^2 + 5$ $f(-x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$
الخطوة الثانية: مقارنة f(-x) مع f(x)
$f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ $f(-x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$
النتيجة: نلاحظ أن f(-x) = f(x)، لذلك الدالة زوجية

مثال (2): التحقق من فردية الدالة

المطلوب: تحقق من أن الدالة التالية فردية

الدالة: $f(x) = 2x^5 - 4x^3 + x$
الخطوة الأولى: حساب f(-x)
$f(-x) = 2(-x)^5 - 4(-x)^3 + (-x)$ $f(-x) = 2(-x^5) - 4(-x^3) + (-x)$ $f(-x) = -2x^5 + 4x^3 - x$
الخطوة الثانية: حساب -f(x)
$-f(x) = -(2x^5 - 4x^3 + x)$ $-f(x) = -2x^5 + 4x^3 - x$
الخطوة الثالثة: مقارنة f(-x) مع -f(x)
$f(-x) = -2x^5 + 4x^3 - x$ $-f(x) = -2x^5 + 4x^3 - x$
النتيجة: نلاحظ أن f(-x) = -f(x)، لذلك الدالة فردية

مثال (3): دالة ليست زوجية ولا فردية

المطلوب: تحقق من نوع الدالة التالية

الدالة: $f(x) = x^3 + x^2 + 1$
الخطوة الأولى: حساب f(-x)
$f(-x) = (-x)^3 + (-x)^2 + 1$ $f(-x) = -x^3 + x^2 + 1$
الخطوة الثانية: مقارنة مع f(x)
$f(x) = x^3 + x^2 + 1$ $f(-x) = -x^3 + x^2 + 1$ هل $f(-x) = f(x)$؟ لا
الخطوة الثالثة: مقارنة مع -f(x)
$-f(x) = -(x^3 + x^2 + 1) = -x^3 - x^2 - 1$ $f(-x) = -x^3 + x^2 + 1$ هل $f(-x) = -f(x)$؟ لا
النتيجة: الدالة ليست زوجية ولا فردية

مثال (4): دالة مثلثية زوجية

المطلوب: تحقق من أن الدالة التالية زوجية

الدالة: $f(x) = \cos(2x) + \cos^2(x)$
الخطوة الأولى: حساب f(-x)
$f(-x) = \cos(2(-x)) + \cos^2(-x)$ $f(-x) = \cos(-2x) + \cos^2(-x)$
الخطوة الثانية: استخدام خصائص الدوال المثلثية
$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ (دالة الكوساين زوجية) $f(-x) = \cos(2x) + \cos^2(x)$
النتيجة: f(-x) = f(x)، لذلك الدالة زوجية

مثال (5): دالة مثلثية فردية

المطلوب: تحقق من أن الدالة التالية فردية

الدالة: $f(x) = \sin(3x) + x\sin(x)$
الخطوة الأولى: حساب f(-x)
$f(-x) = \sin(3(-x)) + (-x)\sin(-x)$ $f(-x) = \sin(-3x) + (-x)\sin(-x)$
الخطوة الثانية: استخدام خصائص الدوال المثلثية
$\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ (دالة الساين فردية) $f(-x) = -\sin(3x) + (-x)(-\sin(x))$ $f(-x) = -\sin(3x) - x\sin(x)$ $f(-x) = -(\sin(3x) + x\sin(x))$ $f(-x) = -f(x)$
النتيجة: f(-x) = -f(x)، لذلك الدالة فردية

مثال (6): تطبيق على التكامل

المطلوب: احسب التكاملات التالية باستخدام خصائص الدوال الزوجية والفردية

أ) $\int_{-2}^{2} x^4 dx$
ب) $\int_{-3}^{3} x^3 dx$
الجزء أ: تكامل دالة زوجية
$f(x) = x^4$ دالة زوجية لأن $f(-x) = (-x)^4 = x^4 = f(x)$ للدوال الزوجية: $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$ $\int_{-2}^{2} x^4 dx = 2\int_{0}^{2} x^4 dx$ $= 2 \cdot \left[\frac{x^5}{5}\right]_0^2 = 2 \cdot \frac{32}{5} = \frac{64}{5}$
الجزء ب: تكامل دالة فردية
$f(x) = x^3$ دالة فردية لأن $f(-x) = (-x)^3 = -x^3 = -f(x)$ للدوال الفردية: $\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$ $\int_{-3}^{3} x^3 dx = 0$
النتيجة: أ) $\frac{64}{5}$، ب) $0$

فوائد معرفة أن الدالة زوجية أو فردية

في التكامل:

• للدوال الزوجية: يمكن حساب التكامل على نصف الفترة وضربه في 2

• للدوال الفردية: التكامل على فترة متماثلة حول الأصل يساوي صفراً

في الرسم البياني:

• يكفي رسم نصف الدالة والباقي يكون بالتماثل

في حل المعادلات:

• تقليل عدد الحلول المطلوب إيجادها

صيغ التكامل المهمة:

للدوال الزوجية: $$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 2\int_{0}^{a} f(x)dx$$
للدوال الفردية: $$\int_{-a}^{a} f(x)dx = 0$$

هذه المفاهيم تساعد في فهم سلوك الدوال وتبسيط العديد من العمليات الرياضية في التفاضل والتكامل.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
59
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...