ماهي الدالة

مقدمة في الدوال مقدمة في الدوال

مقدمة في الدوال

تعلم مفهوم الدالة واختبار الخط العمودي

ما هي الدالة؟

بكل اختصار، الدالة عبارة عن علاقة يحكمها شرط واحد فقط.

لفهم الدالة، نحتاج إلى معرفة:

  • ما معنى علاقة
  • ما هو الشرط الوحيد

المتغير المستقل

المتغير الذي نتحكم فيه ونغيره

يوضع عادة على محور السينات (x)

$x$ (المدخل)

المتغير التابع

المتغير الذي يعتمد على المستقل

يوضع عادة على محور الصادات (y)

$y = f(x)$ (المخرج)

مفهوم العلاقة

مساحة المربع

مساحة المربع تعتمد على طول ضلعه

$A = s^2$

إذا غيرنا طول الضلع، تتغير المساحة

طول الإنسان وعمره

في كل عمر معين له طول معين

إذا غيرنا العمر، يتغير الطول

المسافة والزمن

المسافة تعتمد على الزمن والسرعة

$d = v \times t$

إذا غيرنا الزمن، تتغير المسافة

الشرط الوحيد للدالة

لكل قيمة في المتغير المستقل يجب أن تكون هناك نتيجة واحدة فقط في المتغير التابع

أي أنه لا يمكن أن يكون لدينا نتيجتان لنفس المدخل

لكل $x$ واحد ← $y$ واحد فقط

مثال (1): دالة مساحة المربع

العلاقة: $A = s^2$ حيث $s$ طول الضلع و $A$ المساحة

فحص الشرط:
  • إذا كان طول الضلع = 2، فالمساحة = 4
  • إذا كان طول الضلع = 3، فالمساحة = 9
  • إذا كان طول الضلع = 5، فالمساحة = 25
النتيجة:

لكل طول ضلع واحد ← مساحة واحدة فقط

لا يمكن أن يكون طول الضلع 2 ومساحته 4 و -4 معاً

هذه علاقة تمثل دالة لأنها تحقق الشرط الوحيد

مثال (2): دالة المسافة والزمن

سيارة تسير بسرعة 120 كم/ساعة

العلاقة:
المسافة = عدد الساعات × 120
$d = 120t$
فحص الشرط:
  • بعد ساعة واحدة: المسافة = 120 كم
  • بعد ساعتين: المسافة = 240 كم
  • بعد ثلاث ساعات: المسافة = 360 كم
النتيجة:

لكل زمن محدد ← مسافة واحدة فقط

لا يمكن أن نقول: بعد ساعتين قطعنا 240 كم و 280 كم معاً

هذه علاقة تمثل دالة لأن المتغير التابع يعطي قراءة واحدة فقط

مثال (3): دالة ثابتة - درجة حرارة الغرفة

قياس درجة حرارة غرفة ثابتة خلال ساعات مختلفة

القراءات:
  • بعد ساعة واحدة: درجة الحرارة = 24°
  • بعد ساعة ونصف: درجة الحرارة = 24°
  • بعد ساعتين: درجة الحرارة = 24°
السؤال المهم:

هل يجب أن يعطينا المتغير التابع رقماً مختلفاً دائماً؟

الإجابة:

لا! المهم أن يعطينا قراءة واحدة فقط وليس قراءتين

حتى لو كانت القراءة ثابتة، فهي قراءة واحدة

هذه علاقة تمثل دالة لأنها تعطي قراءة واحدة فقط (حتى لو كانت ثابتة)

مثال (4): علاقة لا تمثل دالة - الدائرة

العلاقة بين المسافة على محور x وتقاطعها مع الدائرة

المشكلة:

عندما نأخذ خطاً عمودياً من محور x، نجد أنه يتقاطع مع الدائرة في نقطتين

النتيجة:

لكل قيمة x واحدة ← نحصل على قيمتين مختلفتين لـ y

هذا ينتهك الشرط الوحيد للدالة

هذه علاقة لا تمثل دالة لأنها تعطي أكثر من نتيجة واحدة

اختبار الخط العمودي التفاعلي

x = 0

مثال (5): التطبيق على الإحداثيات

تمثيل الدوال على المستوى الإحداثي

القاعدة العامة:
  • المتغير المستقل (الذي نتحكم فيه) ← محور السينات (x)
  • المتغير التابع (النتيجة) ← محور الصادات (y)
أمثلة التطبيق:

دالة مساحة المربع

x = طول الضلع

y = المساحة

$y = x^2$

دالة المسافة والزمن

x = الزمن

y = المسافة

$y = 120x$

دالة درجة الحرارة

x = الزمن

y = درجة الحرارة

$y = 24$
اختبار الخط العمودي: إذا تقاطع الخط العمودي مع المنحنى في نقطة واحدة فقط، فالعلاقة تمثل دالة

اختبار الخط العمودي (Vertical Line Test)

هذا اختبار بصري سريع لتحديد ما إذا كانت العلاقة تمثل دالة أم لا:

  • إذا تقاطع أي خط عمودي مع المنحنى في نقطة واحدة فقط ← الرسم يمثل دالة
  • إذا تقاطع أي خط عمودي مع المنحنى في أكثر من نقطة ← الرسم لا يمثل دالة

هذا الاختبار يترجم الشرط الرياضي إلى فحص بصري سهل ومباشر.

خلاصة مهمة

متى تكون العلاقة دالة؟

الشرط الوحيد: لكل قيمة في المتغير المستقل، يجب أن تكون هناك نتيجة واحدة فقط في المتغير التابع

متى العلاقة لا تمثل دالة؟

إذا أعطتنا قراءتين أو أكثر للمتغير التابع عند نفس قيمة المتغير المستقل

اختبار الخط العمودي:

طريقة سريعة وفعالة لفحص أي رسم بياني لتحديد ما إذا كان يمثل دالة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
68
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...