خطوات إيجاد الدالة العكسية مع أمثلة

درس الدوال العكسية - Inverse Functions درس الدوال العكسية - Inverse Functions

درس الدوال العكسية - Inverse Functions

الدالة العكسية هي دالة تعكس عمل الدالة الأصلية. إذا كانت $f(x)$ تحول $x$ إلى $y$، فإن الدالة العكسية $f^{-1}(y)$ تحول $y$ مرة أخرى إلى $x$.

القاعدة الأساسية للدوال العكسية

$f(f^{-1}(x)) = x$ و $f^{-1}(f(x)) = x$

خطوات إيجاد الدالة العكسية

1
التأكد من اختبار الخط الأفقي

تأكد أن الدالة one-to-one (كل قيمة y لها قيمة x واحدة فقط)

2
استبدال f(x) بـ y

اكتب المعادلة بصيغة y = ... ثم بدّل x مع y

3
حل المعادلة بالنسبة لـ y

اعزل y في طرف واحد من المعادلة

4
فحص المجال والمدى

مجال الدالة العكسية = مدى الدالة الأصلية

أمثلة محلولة

مثال 1: دالة خطية بسيطة

المعطى:
$f(x) = x + 5$
الخطوة 1: الدالة خطية، تجتاز اختبار الخط الأفقي
الخطوة 2: نكتب $y = x + 5$، ثم نبدل: $x = y + 5$
الخطوة 3: نحل لـ y:
$y = x - 5$
النتيجة: $f^{-1}(x) = x - 5$
الخطوة 4: المجال والمدى: جميع الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$

مثال 2: دالة خطية بمعامل

المعطى:
$f(x) = 2x$
الخطوة 1: دالة خطية تمر بنقطة الأصل، تجتاز الاختبار
الخطوة 2: نكتب $y = 2x$، ثم نبدل: $x = 2y$
الخطوة 3: نحل لـ y:
$y = \frac{x}{2}$
النتيجة: $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$

ملاحظة مهمة: الرمز $f^{-1}$ يعني الدالة العكسية وليس $\frac{1}{f}$

مثال 3: دالة كسرية

المعطى:
$f(x) = \frac{x + 7}{x}$
الخطوة 1: دالة كسرية، تجتاز اختبار الخط الأفقي
الخطوة 2: نكتب $y = \frac{x + 7}{x}$، ثم نبدل: $x = \frac{y + 7}{y}$
الخطوة 3: نحل لـ y:
$x = \frac{y + 7}{y} = 1 + \frac{7}{y}$
$x - 1 = \frac{7}{y}$
$y(x - 1) = 7$
$y = \frac{7}{x - 1}$
النتيجة: $f^{-1}(x) = \frac{7}{x - 1}$
الخطوة 4:

مجال $f(x): \mathbb{R} - \{0\}$

مدى $f(x): \mathbb{R} - \{1\}$

مجال $f^{-1}(x): \mathbb{R} - \{1\}$

مدى $f^{-1}(x): \mathbb{R} - \{0\}$

رسم الدوال وعكسها

اختر دالة لعرض رسمها مع دالتها العكسية:

الدالة الأصلية f(x)
الدالة العكسية f⁻¹(x)
الخط y = x

خصائص مهمة

التناظر

الدالة الأصلية والدالة العكسية متناظرتان حول الخط $y = x$

  • مجال الدالة العكسية = مدى الدالة الأصلية
  • مدى الدالة العكسية = مجال الدالة الأصلية
  • إذا كانت النقطة $(a, b)$ على $f$، فإن $(b, a)$ على $f^{-1}$

تمارين للممارسة

تمرين 1
$f(x) = 3x - 2$
الحل:
$f^{-1}(x) = \frac{x + 2}{3}$

الخطوات: $y = 3x - 2 \rightarrow x = 3y - 2 \rightarrow 3y = x + 2 \rightarrow y = \frac{x + 2}{3}$

تمرين 2
$f(x) = x^3$
الحل:
$f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x}$

الخطوات: $y = x^3 \rightarrow x = y^3 \rightarrow y = \sqrt[3]{x}$

تمرين 3
$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$
الحل:
$f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$

الخطوات: ضرب تبادلي وحل للحصول على y

المجال: $\mathbb{R} - \{2\}$، المدى: $\mathbb{R} - \{3\}$

تمرين 4
$f(x) = \sqrt{x - 4}$
الحل:
$f^{-1}(x) = x^2 + 4, \quad x \geq 0$

الخطوات: $y = \sqrt{x - 4} \rightarrow x = \sqrt{y - 4} \rightarrow x^2 = y - 4 \rightarrow y = x^2 + 4$

قيد المجال: $x \geq 0$ لأن الجذر التربيعي يعطي قيم موجبة فقط

ملخص الدرس

تعلمنا في هذا الدرس كيفية إيجاد الدوال العكسية وخصائصها الأساسية. تذكر أن الدالة العكسية تعكس عمل الدالة الأصلية، وأنهما متناظرتان حول الخط $y = x$.

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
187
الدرس التالي
جاري تحميل التعليقات...