الفرق بين المتوسط الحسابي و الوسيط

الشرح

الوسيط والمتوسط الحسابي: متى نستخدم كلاً منهما؟

الموضوع: تأثير القراءات الشاذة على المتوسط الحسابي

المفاهيم: المتوسط الحسابي، الوسيط، القراءات الشاذة (Outliers)

الهدف: فهم متى يكون الوسيط أنسب من المتوسط الحسابي

المقدمة

متى يكون الوسيط أنسب من استخدام المتوسط الحسابي؟
مراجعة سريعة:

الوسيط (Median): القيمة التي تأتي في المنتصف عندما نرتب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر.

المتوسط الحسابي (Mean): الـ Average، نجمع جميع الأعداد ونقسمها على عدد القراءات.

المشكلة:
المتوسط الحسابي يتأثر بالقراءات الشاذة (Outliers)، بينما الوسيط لا يتأثر بها كثيراً.

ملاحظة مهمة:
• القراءات الشاذة هي قيم بعيدة جداً عن باقي القراءات
• تؤثر على المتوسط الحسابي وتجعله غير دقيق
• الوسيط يبقى مستقراً حتى مع وجود قراءات شاذة
القراءات الشاذة تؤثر على المتوسط الحسابي لكن لا تؤثر على الوسيط

1 مثال: أسعار البيوت (بدون قراءات شاذة)

عندما تكون القراءات متقاربة، المتوسط الحسابي مفيد
1
المثال
لو عندنا أسعار البيوت في حي معين، وأسعار البيوت في الحي هذا نعرف أن معدلها حوالي مليون ريال.

أخذنا عينات لأسعار البيوت في هذا الحي:

850,000 ريال
900,000 ريال
1,100,000 ريال
700,000 ريال
1,200,000 ريال
الملاحظة:
إلى الآن القراءات متقاربة نسبياً، والمتوسط الحسابي سيكون مفيداً لنا.
2
حساب المتوسط الحسابي
المعطى: 850,000 - 900,000 - 1,100,000 - 700,000 - 1,200,000
المطلوب: المتوسط الحسابي

الحل:

الخطوة 1: نجمع الأسعار
850{,}000 + 900{,}000 + 1{,}100{,}000 + 700{,}000 + 1{,}200{,}000 = 4{,}750{,}000
الخطوة 2: نقسم على عدد البيوت (5)
\text{Mean} = \frac{4{,}750{,}000}{5} = 950{,}000
المتوسط الحسابي = 950,000 ريال
قيمة منطقية ومفيدة
عندما تكون البيانات متقاربة، المتوسط الحسابي يعطي نتيجة دقيقة

2 المشكلة: وجود قراءات شاذة

القراءات الشاذة تجعل المتوسط الحسابي غير دقيق
1
إضافة قراءات شاذة
لكن لو وجدنا قراءات شاذة (Outliers):

قراءة شاذة عالية:
بيت فخم جداً: 2,500,000 ريال

قراءة شاذة منخفضة:
بيت قديم جداً ورخيص: 300,000 ريال
الآن أصبح عندنا:

300,000 - 700,000 - 850,000 - 900,000 - 1,100,000 - 1,200,000 - 2,500,000
صار عندنا قراءات شاذة بعيدة عن المتوسط المعقول.
2
تأثير القراءات الشاذة على المتوسط
حساب المتوسط الحسابي مع القراءات الشاذة:

الخطوة 1: نجمع جميع الأسعار
300{,}000 + 700{,}000 + 850{,}000 + 900{,}000 + 1{,}100{,}000 + 1{,}200{,}000 + 2{,}500{,}000
= 7{,}550{,}000
الخطوة 2: نقسم على عدد البيوت (7)
\text{Mean} = \frac{7{,}550{,}000}{7} \approx 1{,}078{,}571
المشكلة:
المتوسط الحسابي = 1,078,571 ريال

هذا الرقم لا يمثل أغلب البيوت في الحي!
القراءات الشاذة شوهت النتيجة
القراءات الشاذة تشوه المتوسط الحسابي وتجعله غير ممثل للبيانات

3 الحل: استخدام الوسيط

الوسيط لا يتأثر بالقراءات الشاذة
1
حساب الوسيط
نفس البيانات مع القراءات الشاذة:

الخطوة 1: البيانات مرتبة
300,000 - 700,000 - 850,000 - 900,000 - 1,100,000 - 1,200,000 - 2,500,000
الخطوة 2: اختيار القيمة الوسطى
عدد القراءات = 7 (فردي)
الرقم الذي في المنتصف (الرابع) = 900,000 ريال
الوسيط = 900,000 ريال

قيمة أكثر دلالة وأكثر تمثيلاً لأسعار البيوت الطبيعية في الحي!
2
الحل البديل: إزالة القراءات الشاذة
حل آخر هو إطلاع القراءات الشاذة (Outliers) من البيانات، ثم حساب المتوسط الحسابي.

البيانات بعد إزالة القراءات الشاذة:

700,000 - 850,000 - 900,000 - 1,100,000 - 1,200,000
\text{Mean} = \frac{700{,}000 + 850{,}000 + 900{,}000 + 1{,}100{,}000 + 1{,}200{,}000}{5}
= \frac{4{,}750{,}000}{5} = 950{,}000
المتوسط الحسابي بعد إزالة الـ Outliers = 950,000 ريال
قيمة أكثر دقة ومنطقية
في حالة وجود قراءات شاذة: استخدم الوسيط أو أزل القراءات الشاذة قبل حساب المتوسط

الملخص النهائي

المتوسط الحسابي

مفيد عندما
↓
البيانات متقاربة
↓
لا توجد قراءات شاذة

الوسيط

الخيار الأفضل
↓
عند وجود قراءات شاذة
↓
لا يتأثر بالـ Outliers

الحل البديل

إزالة الـ Outliers
↓
ثم حساب المتوسط
↓
نتيجة أكثر دقة

انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات

سجل معنا
👨‍💻
الدرس السابق
4
الدرس التالي
ثالث ثانويالفصل الثاني
جاري تحميل التعليقات...