احتمال حادثتين مستقلتين
الأحداث المستقلة في الاحتمالات
مراجعة: ما هي الأحداث المستقلة؟
تعلمنا في الدرس السابق أيش يعني أحداث مستقلة، وقلنا إنها تكون أحداث ما لها أي علاقة في بعض،
نتيجة الحدث الأول ما تأثر على نتيجة الحدث الثاني، وقلنا ضمن الأمثلة رمي القطعة المعدنية،
فلما نرمي قطعة معدنية المرة الأولى، بعدين نرميها مرة الثانية، فالنتيجة الأولى ما لها أي علاقة في نتيجة الثانية.
قانون احتمال حادثتين مستقلتين
وقدامنا هنا قانون احتمال حادثتين مستقلتين، القانون يقول أن نضرب احتمالية الحدث الأول في احتمالية الحدث الثاني،
قانون الأحداث المستقلة
إذا كان الحدثان A و B مستقلين
لماذا النتيجة تكون أقل؟
وطبيعي أن الناتج يكون أقل، لأن كأننا نضيف شروط أكثر للاحتمالات،
فأكيد النتيجة ستكون أصعب، كأننا صعبنا الموضوع، وهذا الكلام ينعكس في القانون،
لأننا نضرب كسر في كسر، كسر ما بين الصفر والواحد في كسر أيضا ما بين الصفر والواحد.
مثال: رمي القطعة المعدنية
فإذا رمينا القطعة المعدنية فكأننا نقول ما هي احتمالية أن نحصل فيه المرة الأولى على صورة، وفيه المرة الثانية على صورة،
صورة
×
صورة
التمثيل البصري لرمي القطعة المعدنية
الحل التفصيلي
السؤال: ما احتمالية الحصول على صورة في الرمية الأولى وصورة في الرمية الثانية؟
الحل:
في هذه الحالة نضرب نص في نص، وناتجهم سيكون أقل من النص الذي سيكون ربعا،
احتمال(صورة أولاً) × احتمال(صورة ثانياً) = 1/2 × 1/2 = 1/4
النتيجة: احتمالية الحصول على صورتين متتاليتين = 1/4 = 0.25 = 25%
مثال: سحب الكور مع الإرجاع
لو أخذنا مثال الصندوق الذي نسحب منه كورة، وعندنا ثلاثة كور صفراء وخضراء وحمراء،
فما هي احتمالية أن نسحب في المرة الأولى صفراء، ثم نعيد الكورة لكي يصبح الحدثين مستقلين،
ونرجع نسحب كورة مرة ثانية، فما هي احتمالية أن تظهر لنا الكورة صفراء مرتين،
أصفر
أخضر
أحمر
التمثيل البصري للسحب مع الإرجاع
الحل المفصل
السؤال: ما احتمالية سحب كورة صفراء مرتين (مع إرجاع الكورة الأولى)؟
الحل:
فالاحتمالية راحت تكون ثلث واحد على ثلاثة مرتين في واحد على ثلاثة وتصبح واحدة على تسعة،
احتمال(صفراء أولاً) × احتمال(صفراء ثانياً) = 1/3 × 1/3 = 1/9
التحليل:
فالنتيجة صارت واحدة على تسعة أقل من واحدة على ثلاثة، وهذا الكلام متوقع لأننا صعبنا الموضوع،
بدل ما كان سحب مرة واحدة كورة صفراء، قالنا لا السحب الأولى صفراء، والثانية صفراء، فهذا أصعب من أن مرة واحدة تصبح صفراء.
النتيجة: احتمالية سحب كورة صفراء مرتين = 1/9 ≈ 0.111 = 11.1%
قاعدة مهمة: نطاق الاحتمالات
قاعدة ذهبية
دعونا دائما نتذكر أن نتيجة الاحتمالات دائما تكون ما بين الصفر والواحد،
ممكن تكون صفر وممكن تكون واحد أو أي قيمة أو كسر بينهم
أمثلة على نطاق الاحتمالات
الاحتمالية = 0: حدث مستحيل (مثل: سحب كورة زرقاء من صندوق لا يحتوي على كور زرقاء)
الاحتمالية = 1: حدث مؤكد (مثل: سحب كورة ملونة من صندوق يحتوي فقط على كور ملونة)
الاحتمالية بين 0 و 1: حدث ممكن (مثل: سحب كورة صفراء من صندوق يحتوي على كور مختلفة الألوان)
جدول المقارنة: أمثلة على الأحداث المستقلة
| المثال | الحدث الأول | الحدث الثاني | الاحتمالية |
|---|---|---|---|
| القطعة المعدنية | صورة (1/2) | صورة (1/2) | 1/4 = 25% |
| الكور مع الإرجاع | صفراء (1/3) | صفراء (1/3) | 1/9 ≈ 11.1% |
| رمي النرد | الرقم 6 (1/6) | الرقم 6 (1/6) | 1/36 ≈ 2.8% |
خلاصة الدرس
- الأحداث المستقلة: لا تؤثر نتيجة الأول على الثاني
- القانون: P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
- النتيجة تقل: لأننا نضيف شروط أكثر (نضرب كسور)
- أمثلة شائعة: رمي القطعة المعدنية، رمي النرد، السحب مع الإرجاع
- نطاق الاحتمالات: دائماً بين 0 و 1
- كلما زادت الشروط: قلت الاحتمالية (أصبح الحدث أصعب)
انضم لعائلة الهندسة و الرياضيات
👨💻
جاري تحميل التعليقات...