الحوادث المستقلة والغير مستقلة

مستقل

الأول لا يؤثر على الثاني

القانون

P(A∩B) = P(A) × P(B)

النتيجة تقل

نضرب كسراً في كسر

١ قانون الأحداث المستقلة

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

التعريفنتيجة A لا تؤثر على احتمال B

شرط الاستقلالية

P(B \mid A) = P(B)

أمثلةرمي قطعة مرتين — رمي نرد — سحب مع الإرجاع

— نضرب كسراً (0→1) في كسر آخر — الناتج دائماً أصغر من كل منهما.
— كأننا أضفنا شرطاً إضافياً فصار الحدث أصعب تحقيقاً.

٢ مثال ١ — رمي القطعة المعدنية

ما احتمالية الحصول على صورة في الرمية الأولى وصورة في الثانية؟

الرمية الأولى: P(A) = 1/2

P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

احتمال صورتين متتاليتين = 1/4 = 25%

٣ مثال ٢ — السحب مع الإرجاع

صندوق: ٣ كور. نسحب، نُرجع، ثم نسحب مرة ثانية:

السحب الأول: P(A) = 1/3

P(A \cap B) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}

احتمال سحب صفراء مرتين = 1/9 ≈ 11.1%

∑ أمثلة مقارنة

المثال	P(A)	P(B)	P(A∩B)
قطعة — صورتان	1/2	1/2	1/4 = 25%
كور مع إرجاع — صفراء مرتين	1/3	1/3	1/9 ≈ 11.1%
نرد — رقم 6 مرتين	1/6	1/6	1/36 ≈ 2.8%

✓ الخلاصة

— الأحداث المستقلة: الأول لا يؤثر على الثاني — نضرب.

— القانون: P(A∩B) = P(A) × P(B) — النتيجة أقل من كل منهما.

— السحب مع الإرجاع: يعيد العدد الأصلي فيجعل الأحداث مستقلة.

— كلما زادت الشروط ("و") قلّت الاحتمالية.

الشرح