التباديل (Permutations)

رياضيات — التوافيق والتباديل

الهدف: فهم التباديل وتطبيق قانونَي P(n,r) = n!/(n-r)! وP(n,r) = nʳ في مسائل الترتيب.

الترتيب مهم

ABC ≠ BAC ≠ CAB

بدون تكرار

P(n,r) = n! ÷ (n−r)!

مع تكرار

P(n,r) = nʳ

ما هي التباديل؟

— التباديل = اختيار r عناصر من n عنصر مع الاهتمام بالترتيب.

— الفرق عن التوافيق: في التباديل ABC ≠ BAC، أما في التوافيق فهما نفس الشيء.

— كلما زاد عدد العناصر، زادت التباديل بشكل كبير جداً.

مثال سريع

— من المجموعة {A, B, C}: التباديل الثلاثية هي ABC، ACB، BAC، BCA، CAB، CBA = 6 تباديل.

— التوافيق: مجموعة واحدة فقط {A, B, C}.

القوانين الأساسية

— بدون تكرار: كل عنصر يُستخدم مرة واحدة فقط.

— حيث n = العدد الكلي، r = عدد المختارة:

P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}

— مع تكرار: يُسمح باستخدام العنصر أكثر من مرة.

P(n,r) = n^r

— تباديل كاملة: ترتيب جميع العناصر (r = n).

P(n,n) = n!

حاسبة التباديل التفاعلية

— أدخل القيم واضغط لحساب التباديل:

n =

r =

أمثلة محلولة

— مثال ١ (أرقام وظيفية): شركة تريد أرقاماً من 4 خانات من الأرقام 1–9 بدون تكرار.

— n = 9، r = 4، بدون تكرار:

P(9,4) = \frac{9!}{(9-4)!} = \frac{9!}{5!} = 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 3024

P(9,4) = 3024 رقم وظيفي

— مثال ٢ (لوحات السيارات): نفس الأرقام 1–9 لكن مع السماح بالتكرار.

— n = 9، r = 4، مع تكرار:

P(9,4) = 9^4 = 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 6561

6561 > 3024 — التكرار يزيد الاحتمالات

— مثال ٣ (ترتيب الكتب): 7 كتب مختلفة، تريد ترتيب 3 منها على الرف.

P(7,3) = \frac{7!}{4!} = 7 \times 6 \times 5 = 210

210 طريقة مختلفة

— مثال ٤ (كلمات المرور): من الأحرف {A,B,C,D,E}، كلمات مرور من 3 أحرف بدون تكرار.

P(5,3) = \frac{5!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60

60 كلمة مرور

— مثال ٥ (رموز الأمان): رمز من 5 خانات من الأرقام 0–9 مع التكرار.

P(10,5) = 10^5 = 100{,}000

100,000 رمز أمان

— مثال ٦ (ترتيب الحروف): كلمة "رياضة" (5 حروف مختلفة) — كم ترتيباً ممكناً؟

— تباديل كاملة (r = n = 5):

P(5,5) = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120

120 ترتيب مختلف للحروف

— اضغط على أحد الأمثلة لرؤية تمثيله المرئي:

جدول مقارنة الأنواع

النوع	القانون	مثال	النتيجة
بدون تكرار	n! ÷ (n−r)!	P(9,4)	3024
مع تكرار	nʳ	P(9,4)	6561
كاملة (r=n)	n!	P(5,5)	120

الخلاصة

— التباديل: ترتيب r عنصر من n عنصر — الترتيب مهم.

— بدون تكرار: P(n,r) = n!/(n−r)! — كل عنصر يُستخدم مرة.

— مع تكرار: P(n,r) = nʳ — النتيجة دائماً أكبر.

— كلما زاد n أو r: تزداد التباديل بشكل ضخم — 10 عناصر تعطي 3,628,800 تبديل كامل!

التباديل

الشرح