التوافيق (Combinations)

رياضيات — التوافيق والتباديل

الهدف: فهم التوافيق وتطبيق القانون C(n,r) = n! ÷ (r! × (n−r)!) في المسائل التي لا يهم فيها الترتيب.

الترتيب غير مهم

{A,B,C} = {C,B,A}

القانون

C(n,r) = n! ÷ (r!·(n−r)!)

C أقل من P

C(n,r) = P(n,r) ÷ r!

ما هي التوافيق؟

— التوافيق = اختيار r عناصر من n عنصر بدون الاهتمام بالترتيب.

— {أحمد، سارة، محمد} هي نفس {سارة، محمد، أحمد} — تُحسب مرة واحدة فقط.

— التوافيق دائماً أقل من التباديل: C(n,r) = P(n,r) ÷ r!

متى تستخدم التوافيق؟

— عندما تختار مجموعة (فريق، لجنة، مجموعة أصدقاء).

— عندما لا يهم من جاء أولاً أو ثانياً في الاختيار.

قانون التوافيق

— حيث n = العدد الكلي، r = عدد المختارة:

C(n,r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!\,(n-r)!}

— العلاقة بين التوافيق والتباديل:

C(n,r) = \frac{P(n,r)}{r!}

— نقسم على r! لأننا نُلغي ترتيبات نفس المجموعة.

مثال ١ — دوري كرة القدم

— 5 فرق: السعودية، مصر، الجزائر، العراق، الأردن.

— كل فريقين يتقابلان مرة واحدة. كم مباراة ستُلعب؟ اضغط لرؤية الجدول:

— نختار فريقين (r=2) من 5 فرق (n=5)، الترتيب غير مهم (السعودية×مصر = مصر×السعودية):

C(5,2) = \frac{5!}{2!\times 3!} = \frac{5\times 4}{2\times 1} = 10

C(5,2) = 10 مباريات

حاسبة التوافيق التفاعلية

— أدخل القيم واضغط احسب:

n =

r =

أمثلة محلولة

— مثال ٢ (لجنة): من صف من 12 طالباً، اختيار لجنة من 4 طلاب.

— اللجنة لا يهم فيها الترتيب، نستخدم التوافيق:

C(12,4) = \frac{12!}{4!\times 8!} = \frac{12\times 11\times 10\times 9}{4\times 3\times 2\times 1} = \frac{11880}{24} = 495

C(12,4) = 495 طريقة

— مثال ٣ (السلطات): مطعم يقدم 8 أنواع سلطات، تختار 3 منها.

C(8,3) = \frac{8!}{3!\times 5!} = \frac{8\times 7\times 6}{3\times 2\times 1} = \frac{336}{6} = 56

C(8,3) = 56 خياراً

— مثال ٤ (كرة السلة): من 15 لاعباً، اختيار 5 للتشكيلة الأساسية.

C(15,5) = \frac{15!}{5!\times 10!} = \frac{15\times 14\times 13\times 12\times 11}{5\times 4\times 3\times 2\times 1} = \frac{360360}{120} = 3003

C(15,5) = 3,003 تشكيلة مختلفة

التوافيق vs التباديل

الخاصية	التوافيق C(n,r)	التباديل P(n,r)
الترتيب	غير مهم	مهم
القانون	n! ÷ (r!·(n−r)!)	n! ÷ (n−r)!
النتيجة	أقل دائماً	أكبر دائماً
مثال	اختيار فريق من 3	ترتيب 3 في مراكز
C(5,2) vs P(5,2)	10	20

الخلاصة

— التوافيق: اختيار مجموعة بدون اهتمام بالترتيب — C(n,r) = n! ÷ (r!·(n−r)!).

— العلامة: كلمة "مجموعة" أو "لجنة" أو "فريق" ← استخدم التوافيق.

— C أقل من P: نقسم على r! لإلغاء ترتيبات نفس المجموعة.

— الحاسبة: جرّب القيم في الأداة أعلاه لترى الفرق بين C وP بصرياً.

التوافيق ببساطة

الشرح