فضاء العينة ومبدأ العد الأساسي

الشرح

فضاء العينة ومبدأ العد الأساسي

رياضيات — الاحتمالات

الهدف: فهم فضاء العينة وتطبيق مبدأ العد الأساسي لحساب عدد النتائج الممكنة بالضرب بدلاً من العد اليدوي.

فضاء العينة
جميع النتائج الممكنة
مبدأ العد
n₁ × n₂ × n₃ × ...
لماذا الضرب؟
كل خطوة مستقلة عن الأخرى
١

فضاء العينة

— فضاء العينة: مجموعة جميع النتائج الممكنة في تجربة.

— مجموع احتمالات جميع نتائجه يساوي 1.

— لا يمكن حدوث نتيجة خارجه.

— اضغط على التجربة لرؤية فضاء عينتها:

٢

مبدأ العد الأساسي

— إذا كانت التجربة تتكون من خطوات متتالية مستقلة، فالعدد الكلي = حاصل ضرب نتائج كل خطوة.

N = n_1 \times n_2 \times n_3 \times \cdots \times n_k

— حيث n_i = عدد النتائج الممكنة في الخطوة i.

لماذا الضرب وليس الجمع؟

— لأن كل نتيجة في الخطوة الأولى تتزاوج مع كل نتيجة في الخطوة الثانية.

— قطعة × نرد = 2 × 6 = 12 (ليس 2 + 6 = 8).

٣

حاسبة مبدأ العد التفاعلية

— أدخل عدد النتائج في كل خطوة:

عدد الخطوات:
٤

أمثلة محلولة

— مثال ١ (رمي نرد 6 مرات): كم عدد النتائج الممكنة؟

— 6 خطوات، كل خطوة لها 6 نتائج:

N = 6^6 = 6\times6\times6\times6\times6\times6 = 46{,}656

46,656 نتيجة — مستحيل عدها يدوياً!

— مثال ٢ (كلمة مرور من 4 أرقام): كل خانة من 0 إلى 9.

N = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10^4 = 10{,}000

10,000 كلمة مرور مختلفة

— مثال ٣ (قائمة الطعام): 3 مقبلات، 5 أطباق رئيسية، 4 حلويات.

N = 3 \times 5 \times 4 = 60

— 60 وجبة مختلفة يمكن طلبها.

60 وجبة مختلفة

— مثال ٤ (لوحة سيارة): 3 أحرف (26 خيار) + 3 أرقام (10 خيارات).

N = 26^3 \times 10^3 = 17{,}576 \times 1000 = 17{,}576{,}000

17,576,000 لوحة مختلفة

مقارنة: العد اليدوي vs مبدأ العد

التجربة بمبدأ العد النتيجة
قطعتان معدنيتان 2 × 2 4
نرد مرتان 6 × 6 36
نرد 6 مرات 6⁶ 46,656
نرد 10 مرات 6¹⁰ 60,466,176

الخلاصة

— فضاء العينة: جميع النتائج الممكنة — مجموع احتمالاتها = 1.

— مبدأ العد: N = n₁ × n₂ × ... — نضرب نتائج كل خطوة.

— لماذا ضرب؟: كل نتيجة في خطوة تتزاوج مع كل نتيجة في الخطوة التالية.

— الأهمية: يوفر وقتاً هائلاً — 60 مليون نتيجة بضربة واحدة بدلاً من العد اليدوي.

الدرس السابق
0
الدرس التالي
ثاني ثانويالفصل الثالث
جاري تحميل التعليقات...