الدوال الأساسية — المقلوب والقيمة المطلقة وأكبر عدد صحيح
a = التمدد الرأسي — h = الإزاحة الأفقية
أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي x
f(f(2)) = 2 — المقلوب مرتين يعيد العدد الأصلي
x = 8 أو x = −2
الناتج = 0
| الخاصية | المقلوب 1/x | القيمة المطلقة |x| | أكبر صحيح ⌊x⌋ |
|---|---|---|---|
| المجال | ℝ \ {0} | ℝ | ℝ |
| المدى | ℝ \ {0} | [0, ∞) | ℤ |
| الاتصال | متصلة عدا x=0 | متصلة في كل مكان | غير متصلة عند الصحيحات |
| الزوجية | فردية | زوجية | لا زوجية ولا فردية |
الدوال الرئيسية
في هذا الدرس نكمل التعرف على **الدوال الرئيسية**، وسندرس ثلاث دوال مهمة في الرياضيات، وهي:
- دالة المقلوب. - دالة القيمة المطلقة. - دالة أكبر عدد صحيح.
لكل دالة خصائص وسلوك مختلف، ولذلك تستخدم في تطبيقات رياضية متعددة.
دالة المقلوب
دالة المقلوب تعرف بالعلاقة:
\[ f(x)=\frac{1}{x} \]
ويشترط أن:
\[ x \ne 0 \]
لأن القسمة على الصفر غير معرفة.
شكل دالة المقلوب
يتكون منحنى دالة المقلوب من فرعين:
- فرع في الجهة الموجبة عندما تكون \(x\) موجبة. - وفرع في الجهة السالبة عندما تكون \(x\) سالبة.
ولا تمر الدالة بنقطة الأصل، لأن قيمتها غير معرفة عند:
\[ x=0 \]
سلوك الدالة عندما تكون \(x\) موجبة
كلما زادت قيمة \(x\)، اقتربت قيمة الدالة من الصفر.
أما عندما تقترب \(x\) من الصفر من الجهة الموجبة، فإن قيمة الدالة تزداد بسرعة وتتجه إلى موجب ما لا نهاية.
سلوك الدالة عندما تكون \(x\) سالبة
عندما تكون \(x\) سالبة، تكون قيم الدالة سالبة أيضًا.
وكلما اقتربت \(x\) من الصفر من الجهة السالبة، تتجه الدالة إلى سالب ما لا نهاية.
أما إذا ابتعدت عن الصفر، فإن قيم الدالة تقترب من الصفر من الأسفل.
اتصال دالة المقلوب
دالة المقلوب متصلة على الفترتين:
- \(x>0\) - \(x<0\)
ولكنها غير متصلة عند:
\[ x=0 \]
لأنها غير معرفة عند هذه النقطة.
هل دالة المقلوب زوجية أم فردية؟
دالة المقلوب **دالة فردية**، لأنها تحقق العلاقة:
\[ f(-x)=-f(x) \]
كما أن منحناها متماثل حول نقطة الأصل.
دالة القيمة المطلقة
تعرف دالة القيمة المطلقة بالعلاقة:
\[ f(x)=|x| \]
وتقوم القيمة المطلقة بإزالة الإشارة السالبة، ولذلك تكون جميع قيم الدالة غير سالبة.
شكل دالة القيمة المطلقة
إذا كانت قيمة \(x\) موجبة، فإن الدالة تبقى كما هي.
أما إذا كانت \(x\) سالبة، فإن القيمة المطلقة تحولها إلى قيمة موجبة.
ولهذا يكون الرسم البياني متماثلًا حول محور \(y\)، ويأخذ شكل حرف **V**.
خصائص دالة القيمة المطلقة
دالة القيمة المطلقة:
- متصلة على كامل مجالها. - معرفة لجميع الأعداد الحقيقية. - دالة زوجية، لأنها تحقق:
\[ f(-x)=f(x) \]
ويظهر ذلك أيضًا من تماثل الرسم البياني حول محور \(y\).
دالة أكبر عدد صحيح
تعرف دالة أكبر عدد صحيح بأنها الدالة التي تعطي:
**أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي قيمة \(x\).**
وتعرف في الرياضيات باسم:
**Floor Function**.
كيف تعمل دالة أكبر عدد صحيح؟
إذا كانت قيمة \(x\) بين عددين صحيحين، فإن الدالة تعطي العدد الصحيح الأصغر.
فعلى سبيل المثال:
- إذا كانت \(x\) بين \(0\) و\(1\)، فإن قيمة الدالة تساوي \(0\). - وإذا كانت بين \(1\) و\(2\)، فإن قيمة الدالة تساوي \(1\). - وإذا كانت بين \(2\) و\(3\)، فإن قيمة الدالة تساوي \(2\).
وينطبق المبدأ نفسه على الأعداد السالبة.
شكل دالة أكبر عدد صحيح
يكون الرسم البياني على شكل درجات متتابعة، ولذلك تسمى أحيانًا **الدالة الدرجية**.
وتبقى قيمة الدالة ثابتة داخل كل فترة، ثم تقفز إلى القيمة التالية عند الوصول إلى العدد الصحيح.
هل دالة أكبر عدد صحيح زوجية أم فردية؟
دالة أكبر عدد صحيح ليست دالة زوجية، لأن منحناها غير متماثل حول محور \(y\).
كما أنها ليست دالة فردية، لأنها لا تحقق العلاقة:
\[ f(-x)=-f(x) \]
ولذلك فهي ليست زوجية ولا فردية.
ملخص الدرس
- دالة المقلوب تعرف بالعلاقة \(\frac{1}{x}\)، وهي غير معرفة عند \(x=0\). - دالة المقلوب دالة فردية، ومنحناها متماثل حول نقطة الأصل. - دالة القيمة المطلقة تحول جميع القيم السالبة إلى موجبة، وهي دالة زوجية. - دالة القيمة المطلقة متصلة على كامل مجالها. - دالة أكبر عدد صحيح تعطي أكبر عدد صحيح أقل من أو يساوي قيمة \(x\). - دالة أكبر عدد صحيح يكون منحناها على شكل درجات، وليست دالة زوجية ولا فردية.
عن هذا الدرس
شرح درس الدوال الأساسية (الجزء الثاني) في ثاني ثانوي، الفصل الثالث، الثانوية — فيديو تعليمي، أمثلة محلولة، اختبار لفهمك من أكاديمية موسى هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
