الدوال الدورية

رياضيات — الدوال المثلثية

الهدف: فهم مفهوم الدوال الدورية وخصائصها وتحديد دورة الدالة وربطها بالدوال المثلثية.

التكرار

نفس النمط باستمرار

الدورة T

أصغر فترة للتكرار

sin وcos

دورة = 360°

ما هي الدوال الدورية؟

— الدالة الدورية هي دالة تعيد نفس النمط بشكل منتظم كلما تحركنا على محور الأفقي.

— الفترة التي تستغرقها الدالة حتى تعود لنفس النقطة تُسمى الدورة T.

f(x + T) = f(x) \quad \text{لجميع قيم } x

ملاحظة

— يجب أن تكون مدة الدورة ثابتة في كل مرة.

— الدوال الدورية تستمر إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين.

— مثال: دالة الجيب تحقق الشرط:

\sin(x + 2\pi) = \sin(x)

— ودالة جيب التمام كذلك:

\cos(x + 2\pi) = \cos(x)

الدوال الدورية والدائرية

— الدوال الدورية: أي دالة تعيد نفسها بدورة ثابتة (مفهوم عام).

— الدوال الدائرية: دوال مرتبطة بدائرة الوحدة مثل sin وcos وtan.

— معظم الدوال الدائرية دورية، لكن ليس كل دالة دورية دائرية.

— أنواع الدوال الدورية المختلفة:

دالة الجيب sin

دورة = 360°

دالة المنشار

خطية متكررة

الموجة المربعة

تتناوب بين قيمتين

موجة المثلث

صعود وهبوط خطي

أنواع الدوال الدورية — تفاعلي

— اختر نوع الدالة لرؤية شكلها وملاحظة تكرار النمط:

دالة الجيب | الدورة = 360°

دالة الجيب — دورة كاملة

— تبدأ دالة الجيب من 0 وتكمل دورتها كالتالي:

— عند 0°: تبدأ من 0

— عند 90°: تصل للقيمة العظمى 1

— عند 180°: تعود إلى 0

— عند 270°: تصل للقيمة الصغرى −1

— عند 360°: تعود إلى 0 مجدداً ← اكتملت الدورة

T_{\sin} = 360° = 2\pi

دائرة الوحدة ودالة جيب التمام

— cos(θ) هو الإحداثي السيني (x) للنقطة على دائرة الوحدة.

— اضغط تشغيل لرؤية كيف ترتسم دالة cos من دائرة الوحدة:

θ = 0° | cos = 1.000

المستكشف التفاعلي — A وB والإزاحة

— جرّب تغيير السعة والتردد والإزاحة وشاهد كيف تتأثر الدورة:

y = sin(x) | الدورة = 360°

السعة A = 1

التردد B = 1

الإزاحة = 0

ماذا تلاحظ؟

— زيادة B تُقصّر الدورة (تسريع)، وتقليله يُطيلها (تبطيء).

— تغيير A يمدّ الدالة عمودياً دون التأثير على الدورة.

— الإزاحة تحرّك الدالة أفقياً دون تغيير شكلها.

ملخص الدوال الدورية

الدالة	الدورة	الشكل
sin(θ)	360° = 2π	موجة ناعمة، تبدأ من 0
cos(θ)	360° = 2π	موجة ناعمة، تبدأ من 1
دالة المنشار	حسب التعريف	خط منحدر + قفزة
الموجة المربعة	حسب التعريف	تتناوب بين 1 و−1
موجة المثلث	حسب التعريف	صعود وهبوط خطي

الخلاصة

— الدالة الدورية: دالة تعيد نفس النمط بدورة ثابتة T حيث f(x+T) = f(x).

— الدورة: أصغر قيمة موجبة لـ T تحقق شرط التكرار.

— sin وcos: أشهر الدوال الدورية، دورتهما 360° = 2π راديان.

— أنواع أخرى: المنشار والمربعة والمثلث — جميعها دورية لكن ليست دائرية.

— القاعدة: مهما كان الشكل، طالما النمط يتكرر بفترة ثابتة، فالدالة دورية.

مفهوم الدوال الدورية

الشرح