دائرة الوحدة

رياضيات — المثلثات والحركة الدائرية

الهدف: فهم دائرة الوحدة وكيفية استخدام الدوال المثلثية لتحديد إحداثيات أي نقطة عليها، ومعرفة إشارات الدوال في الأرباع الأربعة.

دائرة الوحدة

دائرة نصف قطرها ١ ومركزها الأصل

الإحداثيات

كل نقطة = (cos θ، sin θ)

الأرباع الأربعة

إشارات sin و cos تحدد الربع

تعريف دائرة الوحدة

— دائرة الوحدة هي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي واحداً.

— سُميت بدائرة الوحدة لأن نصف القطر يساوي وحدة واحدة بالضبط.

x^2 + y^2 = 1

ملاحظة

— استُحدثت دائرة الوحدة لتبسيط دراسة الحركة الدائرية، إذ نفترض أن أي جسم يتحرك دائرياً يسير على هذه الدائرة.

الإحداثيات على دائرة الوحدة

— عند إسقاط خط عمودي من النقطة على دائرة الوحدة إلى محور x، يتشكّل مثلث قائم الزاوية.

— الوتر = ١، الضلع المجاور = إحداثي x، الضلع المقابل = إحداثي y.

— جيب تمام الزاوية (المجاور ÷ الوتر):

\cos\theta = \frac{x}{1} = x

— جيب الزاوية (المقابل ÷ الوتر):

\sin\theta = \frac{y}{1} = y

القاعدة الأساسية

— أي نقطة على دائرة الوحدة عند زاوية θ تكتب على الشكل:

(\cos\theta,\ \sin\theta)

— حرّك المتحكم لاستكشاف موضع النقطة على دائرة الوحدة:

θ = 60°

إشارات الدوال المثلثية في الأرباع

— بما أن x = cos θ وy = sin θ، فإن إشارة الإحداثيات تحدد الربع الذي يقع فيه الجسم.

— الربع الأول (من 0° إلى 90°): x موجب، y موجب.

\cos\theta > 0 \quad,\quad \sin\theta > 0

— الربع الثاني (من 90° إلى 180°): x سالب، y موجب.

\cos\theta < 0 \quad,\quad \sin\theta > 0

— الربع الثالث (من 180° إلى 270°): x سالب، y سالب.

\cos\theta < 0 \quad,\quad \sin\theta < 0

— الربع الرابع (من 270° إلى 360°): x موجب، y سالب.

\cos\theta > 0 \quad,\quad \sin\theta < 0

ملاحظة

— الزاوية الموجبة تعني حركة عكس عقارب الساعة، والزاوية السالبة تعني حركة مع عقارب الساعة.

مثال تطبيقي

— مثال ١: جسم يتحرك على دائرة الوحدة بزاوية 70°. أوجد إحداثياته وحدد الربع.

x = \cos 70° \approx 0.342

y = \sin 70° \approx 0.940

التحقق من الربع

— 70° بين 0° و 90° ← الربع الأول.

— x موجب وy موجب ← يتوافق مع الربع الأول.

النقطة = ( 0.342 , 0.940 ) — الربع الأول

ملخص إشارات الأرباع

الربع	النطاق	cos θ	sin θ
الأول	0° – 90°	موجب	موجب
الثاني	90° – 180°	سالب	موجب
الثالث	180° – 270°	سالب	سالب
الرابع	270° – 360°	موجب	سالب

الخلاصة

— دائرة الوحدة: دائرة مركزها الأصل ونصف قطرها ١، معادلتها x² + y² = 1.

— الإحداثيات: كل نقطة على دائرة الوحدة عند زاوية θ تكتب (cos θ، sin θ).

— إشارة cos: تحدد إشارة إحداثي x، وتعكس موضع الجسم أفقياً.

— إشارة sin: تحدد إشارة إحداثي y، وتعكس موضع الجسم رأسياً.

دائرة الوحدة

الشرح

دائرة الوحدة

تعريف دائرة الوحدة

الإحداثيات على دائرة الوحدة

إشارات الدوال المثلثية في الأرباع

مثال تطبيقي

ملخص إشارات الأرباع

الخلاصة