قانون جيوب التمام

القانون

يربط ضلعاً بالضلعين والزاوية بينهما

حالة SAS

ضلع — زاوية — ضلع

حالة SSS

ثلاثة أضلاع معلومة

١ قانون جيوب التمام

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

الضلع aمقابل للزاوية A

b و cالضلعان المحيطان بالزاوية A

الحد الإضافي−2bc cos A

— الطرف الأيسر هو مربع الضلع المجهول — الطرف الأيمن يحتوي مربعَي الضلعين الآخرين مطروحاً منهما الحد الإضافي.

٢ الصيغ الثلاث للقانون

لإيجاد الضلع a:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

لإيجاد الضلع b:

b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B

لإيجاد الضلع c:

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

٣ العلاقة مع نظرية فيثاغورس

فيثاغورس

a^2 = b^2 + c^2

قانون cos

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A

عند A = 90°

\cos 90° = 0 \Rightarrow a^2 = b^2 + c^2

فيثاغورس هو حالة خاصة من قانون جيوب التمام عند A = 90°

٤ تأثير الزاوية على طول الضلع

حرّك المنزلق لترى كيف تؤثر الزاوية A على طول الضلع a (مع تثبيت b=5 وc=4):

a² = 25 + 16 − 40×cos(60°) = 21.00 → a = 4.583

الزاوية A 60°

— كلما قلّت الزاوية → cos أكبر → حد مطروح أكبر → a أصغر.
— كلما زادت الزاوية → cos يصبح سالباً → يُضاف للمجموع → a أكبر.

٥ مثال تطبيقي

في مثلث ABC: b=7، c=9، A=120°. أوجد a:

نطبق

a^2 = 7^2 + 9^2 - 2(7)(9)\cos 120°

cos 120° = −0.5

a^2 = 49 + 81 + 63 = 193

النتيجة

a = \sqrt{193}

a ≈ 13.89 سم

٦ متى نستخدم القانون؟

حالة SAS نعرف ضلعين والزاوية المحصورة → نوجد الضلع الثالث

حالة SSS نعرف الأضلاع الثلاثة → نوجد أي زاوية

المثلث غير القائم لا تنطبق فيثاغورس مباشرةً — نستخدم هذا القانون

∑ ملخص القانون

✓ الخلاصة

— قانون جيوب التمام: يعمّم فيثاغورس لأي مثلث بإضافة الحد −2bc cos A.

— الصيغ الثلاث: كل ضلع له صيغة مستقلة تربطه بالضلعين الآخرين وزاويته.

— عند A = 90°: يختفي الحد الإضافي ويرجع القانون إلى فيثاغورس.

— حالات التطبيق: SAS لإيجاد الضلع — SSS لإيجاد الزاوية.

الشرح