قانون جيوب التمام
لإيجاد الضلع a:
لإيجاد الضلع b:
لإيجاد الضلع c:
فيثاغورس هو حالة خاصة من قانون جيوب التمام عند A = 90°
حرّك المنزلق لترى كيف تؤثر الزاوية A على طول الضلع a (مع تثبيت b=5 وc=4):
— كلما زادت الزاوية → cos يصبح سالباً → يُضاف للمجموع → a أكبر.
في مثلث ABC: b=7، c=9، A=120°. أوجد a:
a ≈ 13.89 سم
| المجهول | الصيغة | الحالة |
|---|---|---|
| الضلع a | a² = b² + c² − 2bc cos A | SAS |
| الضلع b | b² = a² + c² − 2ac cos B | SAS |
| الضلع c | c² = a² + b² − 2ab cos C | SAS |
| زاوية | cos A = (b²+c²−a²) ÷ 2bc | SSS |
قانون جيوب التمام
في هذا الدرس سنتعرف على قانون جيوب التمام.
ويستخدم هذا القانون لإيجاد طول أحد أضلاع المثلث بدلالة الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المحصورة بينهما.
قانون جيوب التمام
إذا أردنا إيجاد الضلع A، فإن القانون هو:
A² = B² + C² - 2BC Cos(A)
ونلاحظ أن القانون يشبه كثيرًا نظرية فيثاغورس، لكنه يحتوي على حد إضافي يعتمد على جيب تمام الزاوية المحصورة بين الضلعين الآخرين.
العلاقة مع نظرية فيثاغورس
إذا كانت الزاوية المحصورة بين الضلعين تساوي:
90°
فإن:
Cos(90°) = 0
وبالتالي يصبح الحد الأخير مساويًا للصفر، فتتحول المعادلة إلى:
A² = B² + C²
وهي نظرية فيثاغورس.
تأثير قياس الزاوية
كلما صغرت الزاوية المحصورة بين الضلعين، ازدادت قيمة جيب التمام، فيكبر الحد الذي يُطرح من المعادلة.
وبذلك تبتعد النتيجة عن حالة المثلث القائم، لأن الضلع A لم يعد يمثل الوتر كما في نظرية فيثاغورس.
أما كلما اقتربت الزاوية من 90°، اقترب القانون أكثر من نظرية فيثاغورس.
تطبيق القانون على بقية الأضلاع
يمكن استخدام القانون لإيجاد أي ضلع في المثلث، مع تغيير الضلع المطلوب والزاوية المقابلة له.
فعلى سبيل المثال:
B² = A² + C² - 2AC Cos(B)
ونلاحظ أن الحد الأخير يعتمد دائمًا على:
- الضلعين الآخرين. - الزاوية المحصورة بينهما.
وهذه الملاحظة تساعد على حفظ قانون جيوب التمام وتطبيقه بطريقة صحيحة.
عن هذا الدرس
قانون جيوب التمام في هذا الدرس سنتعرف على قانون جيوب التمام. ويستخدم هذا القانون لإيجاد طول أحد أضلاع المثلث بدلالة الضلعين الآخرين وقياس الزاوية المحصورة… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.
