دائرة الوحدة

نصف قطرها ١، مركزها الأصل

الإحداثيات

كل نقطة = (cos θ, sin θ)

الأرباع

إشارات sin وcos تحدد الربع

١ تعريف دائرة الوحدة

x^2 + y^2 = 1

المركز(0, 0) — نقطة الأصل

نصف القطرr = 1

السببنصف القطر يساوي وحدة واحدة بالضبط

— استُحدثت دائرة الوحدة لتبسيط دراسة الحركة الدائرية — نفترض أن أي جسم يتحرك دائرياً يسير عليها.

٢ الإحداثيات على دائرة الوحدة

جيب التمام

\cos\theta = \frac{x}{1} = x

الجيب

\sin\theta = \frac{y}{1} = y

(\cos\theta,\ \sin\theta)

حرّك المنزلق لاستكشاف موضع النقطة على دائرة الوحدة:

θ = 60° | cos = 0.500 | sin = 0.866

الزاوية θ 60°

— الزاوية الموجبة تعني حركة عكس عقارب الساعة — السالبة مع عقارب الساعة.

٣ إشارات الدوال المثلثية في الأرباع

الربع الأول — 0° إلى 90°

x > 0 ، y > 0

cos+ sin+

الربع الثاني — 90° إلى 180°

x < 0 ، y > 0

cos− sin+

الربع الثالث — 180° إلى 270°

x < 0 ، y < 0

cos− sin−

الربع الرابع — 270° إلى 360°

x > 0 ، y < 0

cos+ sin−

الربع الأول

\cos\theta > 0 \quad,\quad \sin\theta > 0

الربع الثاني

\cos\theta < 0 \quad,\quad \sin\theta > 0

الربع الثالث

\cos\theta < 0 \quad,\quad \sin\theta < 0

الربع الرابع

\cos\theta > 0 \quad,\quad \sin\theta < 0

٤ مثال تطبيقي

جسم يتحرك على دائرة الوحدة بزاوية 70°. أوجد إحداثياته وحدد الربع:

cos 70°

\cos 70° \approx 0.342

sin 70°

\sin 70° \approx 0.940

الربع 70° بين 0° و 90° → الربع الأول

التحقق x موجب وy موجب ✓

النقطة = ( 0.342 , 0.940 ) — الربع الأول

∑ ملخص إشارات الأرباع

الربع	النطاق	cos θ	sin θ
الأول	0° – 90°	موجب	موجب
الثاني	90° – 180°	سالب	موجب
الثالث	180° – 270°	سالب	سالب
الرابع	270° – 360°	موجب	سالب

✓ الخلاصة

— دائرة الوحدة: مركزها الأصل ونصف قطرها ١ — معادلتها x² + y² = 1.

— الإحداثيات: كل نقطة عند زاوية θ تكتب (cos θ, sin θ).

— إشارة cos: تحدد إشارة إحداثي x — موضع الجسم أفقياً.

— إشارة sin: تحدد إشارة إحداثي y — موضع الجسم رأسياً.

دائرة الوحدة

الشرح

دائرة الوحدة

دروس ذات صلة