مساحة المثلث بدلالة الزاوية

القاعدة

½ × a × b × sin C

أقصى مساحة

عند 90° لأن sin 90° = 1

الصيغ الثلاث

أي ضلعين + زاويتهما

١ القاعدة التقليدية ومحدوديتها

S = \frac{1}{2} \times q \times h

qالقاعدة

hالارتفاع

المشكلةيصعب إيجاد h في المثلثات غير القائمة

— نحتاج إلى قاعدة أشمل تعمل مع أي مثلث باستخدام ضلعين والزاوية بينهما.

٢ القاعدة الجديدة

S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C

S = \frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2} bc\sin A = \frac{1}{2} ac\sin B

a و bضلعان معلومان

Cالزاوية المحصورة بين a و b

الميزةتعمل مع أي مثلث — قائم أو حاد أو منفرج

٣ العلاقة بالقاعدة التقليدية

sin 90°

\sin 90° = 1

يصبح

S = \frac{1}{2} \times a \times b \times 1 = \frac{1}{2}ab

القاعدة الجديدة أشمل — تتحول إلى التقليدية عند الزاوية القائمة

٤ استكشف تأثير الزاوية على المساحة

حرّك المنزلق أو اسحب النقطة على منحنى الجيب (مع تثبيت a=5 وb=4):

المساحة = ½ × 5 × 4 × sin(60°) = 8.660 وحدة²

sin 60° = 0.8660 → S = ½ × 5 × 4 × 0.866 = 8.660 وحدة²

الزاوية C 60°

— المساحة تزداد من 0° حتى 90°، ثم تتناقص من 90° حتى 180°.
— زاويتان مكملتان (θ و 180°−θ) تعطيان نفس المساحة لأن sin θ = sin(180°−θ).

٥ أمثلة تطبيقية

مثال ١ — AB=8، AC=6، A=30°:

التطبيق

S = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin 30°

sin 30° = 0.5

S = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 6 \times 0.5 = 12

المساحة = 12 سم²

مثال ٢ — XY=10، XZ=7، X=120° (منفرج):

التطبيق

S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 7 \times \sin 120°

sin 120° = sin 60°

S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 7 \times 0.866 = 30.31

المساحة ≈ 30.31 سم²

مثال ٣ — a=5، b=8 عند ثلاث زوايا:

عند 45°S = 20 × sin 45° ≈ 14.14

عند 90°S = 20 × 1 = 20 (الأقصى)

عند 135°S = 20 × sin 45° ≈ 14.14

م₁ = م₃ ≈ 14.14 | م₂ = 20 سم² (الأكبر عند 90°)

∑ ملخص

الزاوية C	sin C	المساحة (a=5, b=4)
0°	0	0
30°	0.5	5
90°	1 (القمة)	10 (الأقصى)
150°	0.5	5
180°	0	0

✓ الخلاصة

— القاعدة: المساحة = ½ × a × b × sin C — C هي الزاوية المحصورة.

— أقصى مساحة: عند C = 90° لأن sin 90° = 1.

— التماثل: زاويتان مكملتان تعطيان نفس المساحة.

— الحالة الخاصة: عند C = 90° تتحول إلى ½ × قاعدة × ارتفاع.

مساحة المثلث بالقانون العام

الشرح

مساحة المثلث بدلالة الزاوية

دروس ذات صلة