مساحة المثلث بالقانون العام

مساحة المثلث بدلالة الزاوية

القاعدة

½ × a × b × sin C

أقصى مساحة

عند 90° لأن sin 90° = 1

الصيغ الثلاث

أي ضلعين + زاويتهما

١ القاعدة التقليدية ومحدوديتها

S = \frac{1}{2} \times q \times h

qالقاعدة

hالارتفاع

المشكلةيصعب إيجاد h في المثلثات غير القائمة

— نحتاج إلى قاعدة أشمل تعمل مع أي مثلث باستخدام ضلعين والزاوية بينهما.

٢ القاعدة الجديدة

S = \frac{1}{2} \times a \times b \times \sin C

S = \frac{1}{2} ab\sin C = \frac{1}{2} bc\sin A = \frac{1}{2} ac\sin B

a و bضلعان معلومان

Cالزاوية المحصورة بين a و b

الميزةتعمل مع أي مثلث — قائم أو حاد أو منفرج

٣ العلاقة بالقاعدة التقليدية

sin 90°

\sin 90° = 1

يصبح

S = \frac{1}{2} \times a \times b \times 1 = \frac{1}{2}ab

القاعدة الجديدة أشمل — تتحول إلى التقليدية عند الزاوية القائمة

٤ استكشف تأثير الزاوية على المساحة

حرّك المنزلق أو اسحب النقطة على منحنى الجيب (مع تثبيت a=5 وb=4):

المساحة = ½ × 5 × 4 × sin(60°) = 8.660 وحدة²

sin 60° = 0.8660 → S = ½ × 5 × 4 × 0.866 = 8.660 وحدة²

الزاوية C 60°

— المساحة تزداد من 0° حتى 90°، ثم تتناقص من 90° حتى 180°.
— زاويتان مكملتان (θ و 180°−θ) تعطيان نفس المساحة لأن sin θ = sin(180°−θ).

٥ أمثلة تطبيقية

مثال ١ — AB=8، AC=6، A=30°:

التطبيق

S = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 6 \times \sin 30°

sin 30° = 0.5

S = \tfrac{1}{2} \times 8 \times 6 \times 0.5 = 12

المساحة = 12 سم²

مثال ٢ — XY=10، XZ=7، X=120° (منفرج):

التطبيق

S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 7 \times \sin 120°

sin 120° = sin 60°

S = \tfrac{1}{2} \times 10 \times 7 \times 0.866 = 30.31

المساحة ≈ 30.31 سم²

مثال ٣ — a=5، b=8 عند ثلاث زوايا:

عند 45°S = 20 × sin 45° ≈ 14.14

عند 90°S = 20 × 1 = 20 (الأقصى)

عند 135°S = 20 × sin 45° ≈ 14.14

م₁ = م₃ ≈ 14.14 | م₂ = 20 سم² (الأكبر عند 90°)

∑ ملخص

الزاوية C	sin C	المساحة (a=5, b=4)
0°	0	0
30°	0.5	5
90°	1 (القمة)	10 (الأقصى)
150°	0.5	5
180°	0	0

✓ الخلاصة

— القاعدة: المساحة = ½ × a × b × sin C — C هي الزاوية المحصورة.

— أقصى مساحة: عند C = 90° لأن sin 90° = 1.

— التماثل: زاويتان مكملتان تعطيان نفس المساحة.

— الحالة الخاصة: عند C = 90° تتحول إلى ½ × قاعدة × ارتفاع.

ثاني ثانوي الفصل الثالث

جاري تحميل التعليقات...

عن هذا الدرس

مثال على مساحة المثلث بالقانون العام في هذا الدرس سنتعرف على مثال يوضح استخدام القانون العام لمساحة المثلث. وينص القانون على أن: مساحة المثلث = ½ × طول… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.

دروس ذات صلة

جميع الدوال االمثلثية في مثلث قائم الزاوية

الثانوية

معكوس النسب المثلثية

الثانوية

الدوال المثلثية والزوايا المرجعية

الثانوية

الدوال المثلثية العكسية

الثانوية

تجربة ذات الحدين

الثانوية