معكوس النسب المثلثية
معكوس النسب المثلثية
θ = sin⁻¹(0.5) = 30°
sin θ = 0.5 → θ = sin⁻¹(0.5) = 30°
حرّك أي منزلق لتغيير قيمة النسبة وشاهد الزاوية:
عند sin θ = ½ → θ = 30° — لكنّ أطوال الأضلاع غير معلومة:
لإيجاد أطوال الأضلاع نحتاج معطى إضافياً (طول ضلع واحد على الأقل)
— مدخل sin⁻¹ وcos⁻¹ يجب أن يكون بين −1 و 1 — أما tan⁻¹ فتقبل أي رقم.
| الدالة | الرمز | نطاق المدخل | نطاق النتيجة |
|---|---|---|---|
| معكوس الجيب | sin⁻¹ | −1 إلى 1 | −90° إلى 90° |
| معكوس جيب التمام | cos⁻¹ | −1 إلى 1 | 0° إلى 180° |
| معكوس الظل | tan⁻¹ | أي رقم حقيقي | −90° إلى 90° |
معكوس النسب المثلثية
في هذا الدرس سنتعرف على معكوس النسب المثلثية.
ويستخدم معكوس النسب المثلثية عندما تكون قيمة الدالة المثلثية معلومة، ونريد إيجاد قياس الزاوية.
معكوس الدوال المثلثية
باستخدام الآلة الحاسبة يمكن إيجاد الزاوية من خلال:
- معكوس الجيب (Sin⁻¹). - معكوس جيب التمام (Cos⁻¹). - معكوس الظل (Tan⁻¹).
أمثلة
إذا كان:
Sin(θ) = 1/2
فإن:
θ = 30°
وإذا كان:
Cos(θ) = √2/2
فإن:
θ = 45°
وإذا كان:
Tan(θ) = √3
فإن:
θ = 60°
ماذا نستفيد من معكوس الدوال المثلثية؟
إذا علمنا أن:
Sin(θ) = 1/2
فإننا نستطيع تحديد قياس الزاوية، وهو:
30°
لكن لا يمكننا تحديد أطوال أضلاع المثلث من هذه المعلومة وحدها.
وذلك لأن الجيب يمثل النسبة:
المقابل ÷ الوتر
فقد يكون:
- المقابل = 5، والوتر = 10.
أو:
- المقابل = 4، والوتر = 8.
وفي كلتا الحالتين تكون النسبة:
1/2
وبالتالي تبقى الزاوية نفسها، وهي:
30°
ملاحظة مهمة
إذا كان المطلوب إيجاد قياس الزاوية، فإن معرفة إحدى النسب المثلثية تكفي، ثم نستخدم معكوس الدالة المناسبة لإيجاد الزاوية.
أما إذا كان المطلوب إيجاد أطوال الأضلاع، فلا بد من توفر معطيات إضافية.
عن هذا الدرس
sin⁻¹ (arcsin) و cos⁻¹ و tan⁻¹ تعطي الزاوية من النسبة، فإذا كان sin θ = 0.5 فإن θ = sin⁻¹(0.5) = 30°؛ والرمز sin⁻¹ لا يعني مقلوب الجيب 1/sin (وهو csc)، مع… هذا الدرس ضمن الفصل الثالث لمنهج الثانوية ثاني ثانوي في أكاديمية موسى.