الدوال المثلثية في المثلث قائم الزاوية

رياضيات — المثلثات

الهدف: تعريف الدوال المثلثية الست من خلال نسب أضلاع المثلث قائم الزاوية، وفهم العلاقة بين الأضلاع والزوايا.

الوتر

الضلع المقابل للزاوية القائمة

6 دوال

sin cos tan csc sec cot

نسب ثابتة

تتغير الزاوية لا الشكل

أضلاع المثلث قائم الزاوية

— الوتر: أطول ضلع، يقابل الزاوية القائمة دائماً.

— الضلع المجاور: الضلع الملاصق للزاوية θ (غير الوتر).

— الضلع المقابل: الضلع الذي يقابل الزاوية θ.

ملاحظة

— تعريف المجاور والمقابل يتغير حسب أي زاوية حادة تختارها — الوتر وحده يبقى ثابتاً.

— اضغط على أي ضلع لتمييزه:

— الدوال الأساسية الثلاث:

\sin\theta = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} \qquad \cos\theta = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} \qquad \tan\theta = \frac{\text{opp}}{\text{adj}}

— الدوال المقلوبة الثلاث (معكوس كل دالة):

\csc\theta = \frac{\text{hyp}}{\text{opp}} \qquad \sec\theta = \frac{\text{hyp}}{\text{adj}} \qquad \cot\theta = \frac{\text{adj}}{\text{opp}}

طريقة الحفظ

— opp = المقابل، adj = المجاور، hyp = الوتر.

— الدالة المقلوبة = قلب البسط والمقام فقط.

— حرّك السلايدر لتغيير طول الضلع المجاور وراقب تأثيره على الزاوية θ وقيمة cos:

المجاور = 3.0

ملاحظة

— كلما زاد الضلع المجاور، صغرت الزاوية θ واقتربت من 0°.

— كلما صغر الضلع المجاور، كبرت الزاوية θ واقتربت من 90°.

— عند θ = 0°: الوتر يتطابق مع المجاور، فالمجاور = الوتر.

\cos 0° = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} = \frac{\text{hyp}}{\text{hyp}} = 1 \qquad \sin 0° = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{0}{\text{hyp}} = 0

— عند θ = 90°: الوتر يتطابق مع المقابل، فالمقابل = الوتر.

\sin 90° = \frac{\text{opp}}{\text{hyp}} = \frac{\text{hyp}}{\text{hyp}} = 1 \qquad \cos 90° = \frac{\text{adj}}{\text{hyp}} = \frac{0}{\text{hyp}} = 0

cos 0° = 1 | cos 90° = 0 | sin 0° = 0 | sin 90° = 1

— الوتر: ثابت دائماً — هو الضلع المقابل للزاوية القائمة وأطول الأضلاع.

— الدوال الست: نسب بين أضلاع المثلث — تتغير قيمتها بتغير الزاوية لا بتغير أحجام المثلث.

— عند 0°: cos = 1 وsin = 0 (المجاور = الوتر).

— عند 90°: sin = 1 وcos = 0 (المقابل = الوتر).